Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30643 / 20429
↖ ↑ ↗
← N 55.933818°
W 11.672973°		 ← 342.13 m → N 55.933818°
W 11.667480°		 →
↑
342.19 m
↓
↑
342.19 m
↓
N 55.930741°
W 11.672973°		 ← 342.16 m →
117 078 m²		 N 55.930741°
W 11.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467582702636719 y=0.311729431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467582702636719 × 216)
    floor (0.467582702636719 × 65536)
    floor (30643.5)     		tx = 30643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311729431152344 × 216)
    floor (0.311729431152344 × 65536)
    floor (20429.5)     		ty = 20429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30643 / 20429 ti = "16/30643/20429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30643/20429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30643 ÷ 216
    30643 ÷ 65536     		x = 0.467575073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20429 ÷ 216
    20429 ÷ 65536     		y = 0.311721801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467575073242188 × 2 - 1) × π
    -0.064849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20373182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311721801757812 × 2 - 1) × π
    0.376556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18298680882375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20373182} λ = -0.20373182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18298680882375))-π/2
    2×atan(3.26410892711777)-π/2
    2×1.27351280612352-π/2
    2.54702561224703-1.57079632675     		φ = 0.97622929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20373182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.672973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97622929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.933818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30643 KachelY 20429 -0.20373182 0.97622929 -11.672973 55.933818
    Oben rechts KachelX + 1 30644 KachelY 20429 -0.20363595 0.97622929 -11.667480 55.933818
    Unten links KachelX 30643 KachelY + 1 20430 -0.20373182 0.97617558 -11.672973 55.930741
    Unten rechts KachelX + 1 30644 KachelY + 1 20430 -0.20363595 0.97617558 -11.667480 55.930741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97622929-0.97617558) × R
    5.37099999999846e-05 × 6371000     		dl = 342.186409999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97622929-0.97617558) × R
    5.37099999999846e-05 × 6371000     		dr = 342.186409999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20373182--0.20363595) × cos(0.97622929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560150144145905 × 6371000     		do = 342.132857408048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20373182--0.20363595) × cos(0.97617558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560194636223961 × 6371000     		du = 342.160032625187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97622929)-sin(0.97617558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560150144145905-0.560194636223961)×R²
    abs(-0.20363595--0.20373182)×4.44920780562352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44920780562352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44920780562352e-05×40589641000000     		ar = 117077.863742431m²