Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30642 / 6735
↖ ↑ ↗
← N 72.131308°
E156.643066°		 ← 374.84 m → N 72.131308°
E156.654053°		 →
↑
374.87 m
↓
↑
374.87 m
↓
N 72.127936°
E156.643066°		 ← 374.91 m →
140 530 m²		 N 72.127936°
E156.654053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935134887695312 y=0.205551147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935134887695312 × 215)
    floor (0.935134887695312 × 32768)
    floor (30642.5)     		tx = 30642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205551147460938 × 215)
    floor (0.205551147460938 × 32768)
    floor (6735.5)     		ty = 6735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30642 / 6735 ti = "15/30642/6735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30642/6735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30642 ÷ 215
    30642 ÷ 32768     		x = 0.93511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6735 ÷ 215
    6735 ÷ 32768     		y = 0.205535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93511962890625 × 2 - 1) × π
    0.8702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73393726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205535888671875 × 2 - 1) × π
    0.58892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85017257773569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73393726} λ = 2.73393726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85017257773569))-π/2
    2×atan(6.36091718056736)-π/2
    2×1.41486256905106-π/2
    2.82972513810211-1.57079632675     		φ = 1.25892881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73393726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.643066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25892881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.131308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30642 KachelY 6735 2.73393726 1.25892881 156.643066 72.131308
    Oben rechts KachelX + 1 30643 KachelY 6735 2.73412901 1.25892881 156.654053 72.131308
    Unten links KachelX 30642 KachelY + 1 6736 2.73393726 1.25886997 156.643066 72.127936
    Unten rechts KachelX + 1 30643 KachelY + 1 6736 2.73412901 1.25886997 156.654053 72.127936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25892881-1.25886997) × R
    5.88400000001155e-05 × 6371000     		dl = 374.869640000736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25892881-1.25886997) × R
    5.88400000001155e-05 × 6371000     		dr = 374.869640000736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73393726-2.73412901) × cos(1.25892881) × R
    0.000191750000000379 × 0.306836602381771 × 6371000     		do = 374.843636806956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73393726-2.73412901) × cos(1.25886997) × R
    0.000191750000000379 × 0.306892603538866 × 6371000     		du = 374.912050018508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25892881)-sin(1.25886997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306836602381771-0.306892603538866)×R²
    abs(2.73412901-2.73393726)×5.60011570948649e-05×R²
    0.000191750000000379×5.60011570948649e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.60011570948649e-05×40589641000000     		ar = 140530.322245023m²