Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30642 / 20627
↖ ↑ ↗
← N 55.319769°
W 11.678467°		 ← 347.57 m → N 55.319769°
W 11.672973°		 →
↑
347.60 m
↓
↑
347.60 m
↓
N 55.316643°
W 11.678467°		 ← 347.60 m →
120 821 m²		 N 55.316643°
W 11.672973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467567443847656 y=0.314750671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467567443847656 × 216)
    floor (0.467567443847656 × 65536)
    floor (30642.5)     		tx = 30642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314750671386719 × 216)
    floor (0.314750671386719 × 65536)
    floor (20627.5)     		ty = 20627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30642 / 20627 ti = "16/30642/20627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30642/20627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30642 ÷ 216
    30642 ÷ 65536     		x = 0.467559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20627 ÷ 216
    20627 ÷ 65536     		y = 0.314743041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.06488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20382770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314743041992188 × 2 - 1) × π
    0.370513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1640037965742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20382770} λ = -0.20382770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1640037965742))-π/2
    2×atan(3.20273072212863)-π/2
    2×1.26815421649639-π/2
    2.53630843299278-1.57079632675     		φ = 0.96551211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20382770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96551211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.319769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30642 KachelY 20627 -0.20382770 0.96551211 -11.678467 55.319769
    Oben rechts KachelX + 1 30643 KachelY 20627 -0.20373182 0.96551211 -11.672973 55.319769
    Unten links KachelX 30642 KachelY + 1 20628 -0.20382770 0.96545755 -11.678467 55.316643
    Unten rechts KachelX + 1 30643 KachelY + 1 20628 -0.20373182 0.96545755 -11.672973 55.316643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96551211-0.96545755) × R
    5.45600000000368e-05 × 6371000     		dl = 347.601760000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96551211-0.96545755) × R
    5.45600000000368e-05 × 6371000     		dr = 347.601760000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20382770--0.20373182) × cos(0.96551211) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568995822193669 × 6371000     		do = 347.571940100793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20382770--0.20373182) × cos(0.96545755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569040688239671 × 6371000     		du = 347.599346591395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96551211)-sin(0.96545755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568995822193669-0.569040688239671)×R²
    abs(-0.20373182--0.20382770)×4.48660460019568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48660460019568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48660460019568e-05×40589641000000     		ar = 120821.381408171m²