Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30642 / 20482
↖ ↑ ↗
← N 55.770393°
W 11.678467°		 ← 343.61 m → N 55.770393°
W 11.672973°		 →
↑
343.59 m
↓
↑
343.59 m
↓
N 55.767303°
W 11.678467°		 ← 343.64 m →
118 065 m²		 N 55.767303°
W 11.672973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467567443847656 y=0.312538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467567443847656 × 216)
    floor (0.467567443847656 × 65536)
    floor (30642.5)     		tx = 30642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312538146972656 × 216)
    floor (0.312538146972656 × 65536)
    floor (20482.5)     		ty = 20482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30642 / 20482 ti = "16/30642/20482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30642/20482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30642 ÷ 216
    30642 ÷ 65536     		x = 0.467559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20482 ÷ 216
    20482 ÷ 65536     		y = 0.312530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.06488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20382770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17790549746402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20382770} λ = -0.20382770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17790549746402))-π/2
    2×atan(3.24756504126112)-π/2
    2×1.27208665995417-π/2
    2.54417331990834-1.57079632675     		φ = 0.97337699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20382770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97337699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.770393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30642 KachelY 20482 -0.20382770 0.97337699 -11.678467 55.770393
    Oben rechts KachelX + 1 30643 KachelY 20482 -0.20373182 0.97337699 -11.672973 55.770393
    Unten links KachelX 30642 KachelY + 1 20483 -0.20382770 0.97332306 -11.678467 55.767303
    Unten rechts KachelX + 1 30643 KachelY + 1 20483 -0.20373182 0.97332306 -11.672973 55.767303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97337699-0.97332306) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dl = 343.588029999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97337699-0.97332306) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dr = 343.588029999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20382770--0.20373182) × cos(0.97337699) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562510682297614 × 6371000     		do = 343.610482797281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20382770--0.20373182) × cos(0.97332306) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562555270265196 × 6371000     		du = 343.637719423269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97337699)-sin(0.97332306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562510682297614-0.562555270265196)×R²
    abs(-0.20373182--0.20382770)×4.45879675824434e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45879675824434e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45879675824434e-05×40589641000000     		ar = 118065.127989499m²