Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30640 / 6736
↖ ↑ ↗
← N 72.127936°
E156.621094°		 ← 374.91 m → N 72.127936°
E156.632080°		 →
↑
374.93 m
↓
↑
374.93 m
↓
N 72.124564°
E156.621094°		 ← 374.98 m →
140 580 m²		 N 72.124564°
E156.632080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935073852539062 y=0.205581665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935073852539062 × 215)
    floor (0.935073852539062 × 32768)
    floor (30640.5)     		tx = 30640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205581665039062 × 215)
    floor (0.205581665039062 × 32768)
    floor (6736.5)     		ty = 6736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30640 / 6736 ti = "15/30640/6736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30640/6736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30640 ÷ 215
    30640 ÷ 32768     		x = 0.93505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6736 ÷ 215
    6736 ÷ 32768     		y = 0.20556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93505859375 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73355376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20556640625 × 2 - 1) × π
    0.5888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84998083013721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73355376} λ = 2.73355376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84998083013721))-π/2
    2×atan(6.35969760690275)-π/2
    2×1.41483314877588-π/2
    2.82966629755177-1.57079632675     		φ = 1.25886997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73355376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25886997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.127936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30640 KachelY 6736 2.73355376 1.25886997 156.621094 72.127936
    Oben rechts KachelX + 1 30641 KachelY 6736 2.73374551 1.25886997 156.632080 72.127936
    Unten links KachelX 30640 KachelY + 1 6737 2.73355376 1.25881112 156.621094 72.124564
    Unten rechts KachelX + 1 30641 KachelY + 1 6737 2.73374551 1.25881112 156.632080 72.124564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25886997-1.25881112) × R
    5.88499999998326e-05 × 6371000     		dl = 374.933349998934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25886997-1.25881112) × R
    5.88499999998326e-05 × 6371000     		dr = 374.933349998934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73355376-2.73374551) × cos(1.25886997) × R
    0.000191749999999935 × 0.306892603538866 × 6371000     		do = 374.91205001764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73355376-2.73374551) × cos(1.25881112) × R
    0.000191749999999935 × 0.306948613150714 × 6371000     		du = 374.980473557852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25886997)-sin(1.25881112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306892603538866-0.306948613150714)×R²
    abs(2.73374551-2.73355376)×5.60096118485953e-05×R²
    0.000191749999999935×5.60096118485953e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.60096118485953e-05×40589641000000     		ar = 140579.858042746m²