Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30640 / 16880
↖ ↑ ↗
← N 65.403445°
W 11.689453°		 ← 254.23 m → N 65.403445°
W 11.683960°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
N 65.401158°
W 11.689453°		 ← 254.25 m →
64 628 m²		 N 65.401158°
W 11.683960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467536926269531 y=0.257575988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467536926269531 × 216)
    floor (0.467536926269531 × 65536)
    floor (30640.5)     		tx = 30640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257575988769531 × 216)
    floor (0.257575988769531 × 65536)
    floor (16880.5)     		ty = 16880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30640 / 16880 ti = "16/30640/16880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30640/16880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30640 ÷ 216
    30640 ÷ 65536     		x = 0.467529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16880 ÷ 216
    16880 ÷ 65536     		y = 0.257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467529296875 × 2 - 1) × π
    -0.06494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20401944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257568359375 × 2 - 1) × π
    0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20401944} λ = -0.20401944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5232429223269))-π/2
    2×atan(4.5870766343275)-π/2
    2×1.35615089023954-π/2
    2.71230178047907-1.57079632675     		φ = 1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20401944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30640 KachelY 16880 -0.20401944 1.14150545 -11.689453 65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 30641 KachelY 16880 -0.20392357 1.14150545 -11.683960 65.403445
    Unten links KachelX 30640 KachelY + 1 16881 -0.20401944 1.14146555 -11.689453 65.401158
    Unten rechts KachelX + 1 30641 KachelY + 1 16881 -0.20392357 1.14146555 -11.683960 65.401158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14150545-1.14146555) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dl = 254.202899999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14150545-1.14146555) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dr = 254.202899999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20401944--0.20392357) × cos(1.14150545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 254.225829125993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20401944--0.20392357) × cos(1.14146555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416262408152477 × 6371000     		du = 254.247988010276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14150545)-sin(1.14146555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.416262408152477)×R²
    abs(-0.20392357--0.20401944)×3.62791879137125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62791879137125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62791879137125e-05×40589641000000     		ar = 64627.7594534939m²