Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30639 / 7025
↖ ↑ ↗
← N 71.127434°
E156.610108°		 ← 395.14 m → N 71.127434°
E156.621094°		 →
↑
395.19 m
↓
↑
395.19 m
↓
N 71.123880°
E156.610108°		 ← 395.21 m →
156 169 m²		 N 71.123880°
E156.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935043334960938 y=0.214401245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935043334960938 × 215)
    floor (0.935043334960938 × 32768)
    floor (30639.5)     		tx = 30639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214401245117188 × 215)
    floor (0.214401245117188 × 32768)
    floor (7025.5)     		ty = 7025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30639 / 7025 ti = "15/30639/7025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30639/7025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30639 ÷ 215
    30639 ÷ 32768     		x = 0.935028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7025 ÷ 215
    7025 ÷ 32768     		y = 0.214385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935028076171875 × 2 - 1) × π
    0.87005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73336202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214385986328125 × 2 - 1) × π
    0.57122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79456577417642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73336202} λ = 2.73336202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79456577417642))-π/2
    2×atan(6.01686147784873)-π/2
    2×1.40610212230397-π/2
    2.81220424460795-1.57079632675     		φ = 1.24140792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73336202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.610108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24140792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.127434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30639 KachelY 7025 2.73336202 1.24140792 156.610108 71.127434
    Oben rechts KachelX + 1 30640 KachelY 7025 2.73355376 1.24140792 156.621094 71.127434
    Unten links KachelX 30639 KachelY + 1 7026 2.73336202 1.24134589 156.610108 71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 30640 KachelY + 1 7026 2.73355376 1.24134589 156.621094 71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24140792-1.24134589) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dl = 395.193130000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24140792-1.24134589) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dr = 395.193130000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73336202-2.73355376) × cos(1.24140792) × R
    0.000191739999999996 × 0.323464374758359 × 6371000     		do = 395.136168266196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73336202-2.73355376) × cos(1.24134589) × R
    0.000191739999999996 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 395.207868235141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24140792)-sin(1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323464374758359-0.323523069424875)×R²
    abs(2.73355376-2.73336202)×5.8694666516701e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8694666516701e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8694666516701e-05×40589641000000     		ar = 156169.266831298m²