Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30638 / 7038
↖ ↑ ↗
← N 71.081182°
E156.599121°		 ← 396.09 m → N 71.081182°
E156.610108°		 →
↑
396.15 m
↓
↑
396.15 m
↓
N 71.077619°
E156.599121°		 ← 396.16 m →
156 925 m²		 N 71.077619°
E156.610108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935012817382812 y=0.214797973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935012817382812 × 215)
    floor (0.935012817382812 × 32768)
    floor (30638.5)     		tx = 30638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214797973632812 × 215)
    floor (0.214797973632812 × 32768)
    floor (7038.5)     		ty = 7038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30638 / 7038 ti = "15/30638/7038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30638/7038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30638 ÷ 215
    30638 ÷ 32768     		x = 0.93499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7038 ÷ 215
    7038 ÷ 32768     		y = 0.21478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93499755859375 × 2 - 1) × π
    0.8699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73317027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21478271484375 × 2 - 1) × π
    0.5704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79207305539618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73317027} λ = 2.73317027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79207305539618))-π/2
    2×atan(6.00188181204844)-π/2
    2×1.40569849364975-π/2
    2.81139698729949-1.57079632675     		φ = 1.24060066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73317027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24060066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.081182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30638 KachelY 7038 2.73317027 1.24060066 156.599121 71.081182
    Oben rechts KachelX + 1 30639 KachelY 7038 2.73336202 1.24060066 156.610108 71.081182
    Unten links KachelX 30638 KachelY + 1 7039 2.73317027 1.24053848 156.599121 71.077619
    Unten rechts KachelX + 1 30639 KachelY + 1 7039 2.73336202 1.24053848 156.610108 71.077619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24060066-1.24053848) × R
    6.21799999998007e-05 × 6371000     		dl = 396.14877999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24060066-1.24053848) × R
    6.21799999998007e-05 × 6371000     		dr = 396.14877999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73317027-2.73336202) × cos(1.24060066) × R
    0.000191749999999935 × 0.324228131263808 × 6371000     		do = 396.089811105886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73317027-2.73336202) × cos(1.24053848) × R
    0.000191749999999935 × 0.324286951606285 × 6371000     		du = 396.161668344954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24060066)-sin(1.24053848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324228131263808-0.324286951606285)×R²
    abs(2.73336202-2.73317027)×5.88203424769507e-05×R²
    0.000191749999999935×5.88203424769507e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.88203424769507e-05×40589641000000     		ar = 156924.728568085m²