Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30638 / 20398
↖ ↑ ↗
← N 56.029087°
W 11.700439°		 ← 341.29 m → N 56.029087°
W 11.694946°		 →
↑
341.29 m
↓
↑
341.29 m
↓
N 56.026018°
W 11.700439°		 ← 341.32 m →
116 485 m²		 N 56.026018°
W 11.694946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467506408691406 y=0.311256408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467506408691406 × 216)
    floor (0.467506408691406 × 65536)
    floor (30638.5)     		tx = 30638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311256408691406 × 216)
    floor (0.311256408691406 × 65536)
    floor (20398.5)     		ty = 20398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30638 / 20398 ti = "16/30638/20398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30638/20398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30638 ÷ 216
    30638 ÷ 65536     		x = 0.467498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20398 ÷ 216
    20398 ÷ 65536     		y = 0.311248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.06500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20421119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311248779296875 × 2 - 1) × π
    0.37750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18595889660019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20421119} λ = -0.20421119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18595889660019))-π/2
    2×atan(3.27382457609003)-π/2
    2×1.27434418956929-π/2
    2.54868837913858-1.57079632675     		φ = 0.97789205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20421119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.700439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97789205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.029087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30638 KachelY 20398 -0.20421119 0.97789205 -11.700439 56.029087
    Oben rechts KachelX + 1 30639 KachelY 20398 -0.20411532 0.97789205 -11.694946 56.029087
    Unten links KachelX 30638 KachelY + 1 20399 -0.20421119 0.97783848 -11.700439 56.026018
    Unten rechts KachelX + 1 30639 KachelY + 1 20399 -0.20411532 0.97783848 -11.694946 56.026018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97789205-0.97783848) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dl = 341.294470000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97789205-0.97783848) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dr = 341.294470000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20421119--0.20411532) × cos(0.97789205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558771954850508 × 6371000     		do = 341.291076241675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20421119--0.20411532) × cos(0.97783848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55881638079347 × 6371000     		du = 341.318211064307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97789205)-sin(0.97783848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558771954850508-0.55881638079347)×R²
    abs(-0.20411532--0.20421119)×4.44259429610572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44259429610572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44259429610572e-05×40589641000000     		ar = 116485.387491871m²