Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30636 / 7035
↖ ↑ ↗
← N 71.091865°
E156.577148°		 ← 395.87 m → N 71.091865°
E156.588135°		 →
↑
395.89 m
↓
↑
395.89 m
↓
N 71.088305°
E156.577148°		 ← 395.95 m →
156 738 m²		 N 71.088305°
E156.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934951782226562 y=0.214706420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934951782226562 × 215)
    floor (0.934951782226562 × 32768)
    floor (30636.5)     		tx = 30636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214706420898438 × 215)
    floor (0.214706420898438 × 32768)
    floor (7035.5)     		ty = 7035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30636 / 7035 ti = "15/30636/7035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30636/7035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30636 ÷ 215
    30636 ÷ 32768     		x = 0.9349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7035 ÷ 215
    7035 ÷ 32768     		y = 0.214691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9349365234375 × 2 - 1) × π
    0.869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73278677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214691162109375 × 2 - 1) × π
    0.57061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79264829819162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73278677} λ = 2.73278677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79264829819162))-π/2
    2×atan(6.00533534453451)-π/2
    2×1.40579172322881-π/2
    2.81158344645761-1.57079632675     		φ = 1.24078712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73278677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24078712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.091865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30636 KachelY 7035 2.73278677 1.24078712 156.577148 71.091865
    Oben rechts KachelX + 1 30637 KachelY 7035 2.73297852 1.24078712 156.588135 71.091865
    Unten links KachelX 30636 KachelY + 1 7036 2.73278677 1.24072498 156.577148 71.088305
    Unten rechts KachelX + 1 30637 KachelY + 1 7036 2.73297852 1.24072498 156.588135 71.088305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24078712-1.24072498) × R
    6.21400000000438e-05 × 6371000     		dl = 395.893940000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24078712-1.24072498) × R
    6.21400000000438e-05 × 6371000     		dr = 395.893940000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73278677-2.73297852) × cos(1.24078712) × R
    0.000191749999999935 × 0.324051738398955 × 6371000     		do = 395.874322658761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73278677-2.73297852) × cos(1.24072498) × R
    0.000191749999999935 × 0.32411052465911 × 6371000     		du = 395.946138261527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24078712)-sin(1.24072498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324051738398955-0.32411052465911)×R²
    abs(2.73297852-2.73278677)×5.87862601548195e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87862601548195e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87862601548195e-05×40589641000000     		ar = 156738.461073727m²