Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30635 / 20485
↖ ↑ ↗
← N 55.761122°
W 11.716919°		 ← 343.66 m → N 55.761122°
W 11.711426°		 →
↑
343.65 m
↓
↑
343.65 m
↓
N 55.758032°
W 11.716919°		 ← 343.68 m →
118 103 m²		 N 55.758032°
W 11.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467460632324219 y=0.312583923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467460632324219 × 216)
    floor (0.467460632324219 × 65536)
    floor (30635.5)     		tx = 30635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312583923339844 × 216)
    floor (0.312583923339844 × 65536)
    floor (20485.5)     		ty = 20485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30635 / 20485 ti = "16/30635/20485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30635/20485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30635 ÷ 216
    30635 ÷ 65536     		x = 0.467453002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20485 ÷ 216
    20485 ÷ 65536     		y = 0.312576293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467453002929688 × 2 - 1) × π
    -0.065093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20449881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312576293945312 × 2 - 1) × π
    0.374847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1776178760663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20449881} λ = -0.20449881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1776178760663))-π/2
    2×atan(3.24663110638103)-π/2
    2×1.27200575528127-π/2
    2.54401151056254-1.57079632675     		φ = 0.97321518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20449881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.716919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97321518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.761122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30635 KachelY 20485 -0.20449881 0.97321518 -11.716919 55.761122
    Oben rechts KachelX + 1 30636 KachelY 20485 -0.20440294 0.97321518 -11.711426 55.761122
    Unten links KachelX 30635 KachelY + 1 20486 -0.20449881 0.97316124 -11.716919 55.758032
    Unten rechts KachelX + 1 30636 KachelY + 1 20486 -0.20440294 0.97316124 -11.711426 55.758032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97321518-0.97316124) × R
    5.39399999999191e-05 × 6371000     		dl = 343.651739999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97321518-0.97316124) × R
    5.39399999999191e-05 × 6371000     		dr = 343.651739999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20449881--0.20440294) × cos(0.97321518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562644457825728 × 6371000     		do = 343.656353698228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20449881--0.20440294) × cos(0.97316124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562689049150518 × 6371000     		du = 343.683589534058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97321518)-sin(0.97316124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562644457825728-0.562689049150518)×R²
    abs(-0.20440294--0.20449881)×4.45913247898444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45913247898444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45913247898444e-05×40589641000000     		ar = 118102.783760035m²