Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30634 / 7082
↖ ↑ ↗
← N 70.923824°
E156.555176°		 ← 399.26 m → N 70.923824°
E156.566162°		 →
↑
399.27 m
↓
↑
399.27 m
↓
N 70.920233°
E156.555176°		 ← 399.33 m →
159 428 m²		 N 70.920233°
E156.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934890747070312 y=0.216140747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934890747070312 × 215)
    floor (0.934890747070312 × 32768)
    floor (30634.5)     		tx = 30634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216140747070312 × 215)
    floor (0.216140747070312 × 32768)
    floor (7082.5)     		ty = 7082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30634 / 7082 ti = "15/30634/7082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30634/7082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30634 ÷ 215
    30634 ÷ 32768     		x = 0.93487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7082 ÷ 215
    7082 ÷ 32768     		y = 0.21612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93487548828125 × 2 - 1) × π
    0.8697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73240328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21612548828125 × 2 - 1) × π
    0.5677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78363616106305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73240328} λ = 2.73240328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78363616106305))-π/2
    2×atan(5.95145758046148)-π/2
    2×1.40432528353514-π/2
    2.80865056707028-1.57079632675     		φ = 1.23785424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73240328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23785424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.923824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30634 KachelY 7082 2.73240328 1.23785424 156.555176 70.923824
    Oben rechts KachelX + 1 30635 KachelY 7082 2.73259503 1.23785424 156.566162 70.923824
    Unten links KachelX 30634 KachelY + 1 7083 2.73240328 1.23779157 156.555176 70.920233
    Unten rechts KachelX + 1 30635 KachelY + 1 7083 2.73259503 1.23779157 156.566162 70.920233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23785424-1.23779157) × R
    6.26700000001534e-05 × 6371000     		dl = 399.270570000978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23785424-1.23779157) × R
    6.26700000001534e-05 × 6371000     		dr = 399.270570000978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73240328-2.73259503) × cos(1.23785424) × R
    0.000191749999999935 × 0.326824960628891 × 6371000     		do = 399.262199783822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73240328-2.73259503) × cos(1.23779157) × R
    0.000191749999999935 × 0.326884188456962 × 6371000     		du = 399.334554823286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23785424)-sin(1.23779157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326824960628891-0.326884188456962)×R²
    abs(2.73259503-2.73240328)×5.92278280713288e-05×R²
    0.000191749999999935×5.92278280713288e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.92278280713288e-05×40589641000000     		ar = 159428.090758669m²