Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30634 / 7036
↖ ↑ ↗
← N 71.088305°
E156.555176°		 ← 395.95 m → N 71.088305°
E156.566162°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
N 71.084743°
E156.555176°		 ← 396.02 m →
156 817 m²		 N 71.084743°
E156.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934890747070312 y=0.214736938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934890747070312 × 215)
    floor (0.934890747070312 × 32768)
    floor (30634.5)     		tx = 30634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214736938476562 × 215)
    floor (0.214736938476562 × 32768)
    floor (7036.5)     		ty = 7036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30634 / 7036 ti = "15/30634/7036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30634/7036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30634 ÷ 215
    30634 ÷ 32768     		x = 0.93487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7036 ÷ 215
    7036 ÷ 32768     		y = 0.2147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93487548828125 × 2 - 1) × π
    0.8697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73240328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2147216796875 × 2 - 1) × π
    0.570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79245655059314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73240328} λ = 2.73240328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79245655059314))-π/2
    2×atan(6.00418394629658)-π/2
    2×1.40576065233943-π/2
    2.81152130467886-1.57079632675     		φ = 1.24072498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73240328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24072498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.088305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30634 KachelY 7036 2.73240328 1.24072498 156.555176 71.088305
    Oben rechts KachelX + 1 30635 KachelY 7036 2.73259503 1.24072498 156.566162 71.088305
    Unten links KachelX 30634 KachelY + 1 7037 2.73240328 1.24066282 156.555176 71.084743
    Unten rechts KachelX + 1 30635 KachelY + 1 7037 2.73259503 1.24066282 156.566162 71.084743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24072498-1.24066282) × R
    6.21599999999223e-05 × 6371000     		dl = 396.021359999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24072498-1.24066282) × R
    6.21599999999223e-05 × 6371000     		dr = 396.021359999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73240328-2.73259503) × cos(1.24072498) × R
    0.000191749999999935 × 0.32411052465911 × 6371000     		do = 395.946138261527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73240328-2.73259503) × cos(1.24066282) × R
    0.000191749999999935 × 0.324169328587732 × 6371000     		du = 396.017975448787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24072498)-sin(1.24066282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32411052465911-0.324169328587732)×R²
    abs(2.73259503-2.73240328)×5.88039286225084e-05×R²
    0.000191749999999935×5.88039286225084e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.88039286225084e-05×40589641000000     		ar = 156817.352741695m²