Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30633 / 16905
↖ ↑ ↗
← N 65.346223°
W 11.727905°		 ← 254.78 m → N 65.346223°
W 11.722412°		 →
↑
254.84 m
↓
↑
254.84 m
↓
N 65.343931°
W 11.727905°		 ← 254.80 m →
64 931 m²		 N 65.343931°
W 11.722412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467430114746094 y=0.257957458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467430114746094 × 216)
    floor (0.467430114746094 × 65536)
    floor (30633.5)     		tx = 30633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257957458496094 × 216)
    floor (0.257957458496094 × 65536)
    floor (16905.5)     		ty = 16905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30633 / 16905 ti = "16/30633/16905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30633/16905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30633 ÷ 216
    30633 ÷ 65536     		x = 0.467422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16905 ÷ 216
    16905 ÷ 65536     		y = 0.257949829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467422485351562 × 2 - 1) × π
    -0.065155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20469056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257949829101562 × 2 - 1) × π
    0.484100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5208460773459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20469056} λ = -0.20469056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5208460773459))-π/2
    2×atan(4.57609528826832)-π/2
    2×1.3556515316294-π/2
    2.7113030632588-1.57079632675     		φ = 1.14050674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20469056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.727905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14050674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.346223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30633 KachelY 16905 -0.20469056 1.14050674 -11.727905 65.346223
    Oben rechts KachelX + 1 30634 KachelY 16905 -0.20459469 1.14050674 -11.722412 65.346223
    Unten links KachelX 30633 KachelY + 1 16906 -0.20469056 1.14046674 -11.727905 65.343931
    Unten rechts KachelX + 1 30634 KachelY + 1 16906 -0.20459469 1.14046674 -11.722412 65.343931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14050674-1.14046674) × R
    4.000000000004e-05 × 6371000     		dl = 254.840000000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14050674-1.14046674) × R
    4.000000000004e-05 × 6371000     		dr = 254.840000000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20469056--0.20459469) × cos(1.14050674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417134009424152 × 6371000     		do = 254.780351407331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20469056--0.20459469) × cos(1.14046674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417170362890086 × 6371000     		du = 254.802555659721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14050674)-sin(1.14046674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417134009424152-0.417170362890086)×R²
    abs(-0.20459469--0.20469056)×3.63534659345022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63534659345022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63534659345022e-05×40589641000000     		ar = 64931.0540268136m²