Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30632 / 6747
↖ ↑ ↗
← N 72.090811°
E156.533203°		 ← 375.67 m → N 72.090811°
E156.544189°		 →
↑
375.70 m
↓
↑
375.70 m
↓
N 72.087433°
E156.533203°		 ← 375.73 m →
141 150 m²		 N 72.087433°
E156.544189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934829711914062 y=0.205917358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934829711914062 × 215)
    floor (0.934829711914062 × 32768)
    floor (30632.5)     		tx = 30632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205917358398438 × 215)
    floor (0.205917358398438 × 32768)
    floor (6747.5)     		ty = 6747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30632 / 6747 ti = "15/30632/6747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30632/6747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30632 ÷ 215
    30632 ÷ 32768     		x = 0.934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6747 ÷ 215
    6747 ÷ 32768     		y = 0.205902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934814453125 × 2 - 1) × π
    0.86962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73201978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205902099609375 × 2 - 1) × π
    0.58819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84787160655392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73201978} λ = 2.73201978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84787160655392))-π/2
    2×atan(6.34629771937493)-π/2
    2×1.41450917116662-π/2
    2.82901834233323-1.57079632675     		φ = 1.25822202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73201978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25822202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.090811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30632 KachelY 6747 2.73201978 1.25822202 156.533203 72.090811
    Oben rechts KachelX + 1 30633 KachelY 6747 2.73221153 1.25822202 156.544189 72.090811
    Unten links KachelX 30632 KachelY + 1 6748 2.73201978 1.25816305 156.533203 72.087433
    Unten rechts KachelX + 1 30633 KachelY + 1 6748 2.73221153 1.25816305 156.544189 72.087433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25822202-1.25816305) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dl = 375.697869999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25822202-1.25816305) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dr = 375.697869999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73201978-2.73221153) × cos(1.25822202) × R
    0.000191749999999935 × 0.307509221695901 × 6371000     		do = 375.665334960537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73201978-2.73221153) × cos(1.25816305) × R
    0.000191749999999935 × 0.307565333775778 × 6371000     		du = 375.733883679714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25822202)-sin(1.25816305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307509221695901-0.307565333775778)×R²
    abs(2.73221153-2.73201978)×5.61120798771575e-05×R²
    0.000191749999999935×5.61120798771575e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.61120798771575e-05×40589641000000     		ar = 141149.54302232m²