Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30629 / 6997
↖ ↑ ↗
← N 71.226685°
E156.500244°		 ← 393.15 m → N 71.226685°
E156.511231°		 →
↑
393.15 m
↓
↑
393.15 m
↓
N 71.223149°
E156.500244°		 ← 393.23 m →
154 584 m²		 N 71.223149°
E156.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934738159179688 y=0.213546752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934738159179688 × 215)
    floor (0.934738159179688 × 32768)
    floor (30629.5)     		tx = 30629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213546752929688 × 215)
    floor (0.213546752929688 × 32768)
    floor (6997.5)     		ty = 6997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30629 / 6997 ti = "15/30629/6997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30629/6997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30629 ÷ 215
    30629 ÷ 32768     		x = 0.934722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6997 ÷ 215
    6997 ÷ 32768     		y = 0.213531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934722900390625 × 2 - 1) × π
    0.86944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73144454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213531494140625 × 2 - 1) × π
    0.57293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79993470693387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73144454} λ = 2.73144454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79993470693387))-π/2
    2×atan(6.04925247727608)-π/2
    2×1.40696824915813-π/2
    2.81393649831627-1.57079632675     		φ = 1.24314017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73144454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24314017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.226685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30629 KachelY 6997 2.73144454 1.24314017 156.500244 71.226685
    Oben rechts KachelX + 1 30630 KachelY 6997 2.73163629 1.24314017 156.511231 71.226685
    Unten links KachelX 30629 KachelY + 1 6998 2.73144454 1.24307846 156.500244 71.223149
    Unten rechts KachelX + 1 30630 KachelY + 1 6998 2.73163629 1.24307846 156.511231 71.223149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24314017-1.24307846) × R
    6.17099999999926e-05 × 6371000     		dl = 393.154409999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24314017-1.24307846) × R
    6.17099999999926e-05 × 6371000     		dr = 393.154409999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73144454-2.73163629) × cos(1.24314017) × R
    0.000191749999999935 × 0.321824765425337 × 6371000     		do = 393.153765065502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73144454-2.73163629) × cos(1.24307846) × R
    0.000191749999999935 × 0.321883191794262 × 6371000     		du = 393.225141011015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24314017)-sin(1.24307846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321824765425337-0.321883191794262)×R²
    abs(2.73163629-2.73144454)×5.84263689242803e-05×R²
    0.000191749999999935×5.84263689242803e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.84263689242803e-05×40589641000000     		ar = 154584.167476735m²