Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30629 / 20638
↖ ↑ ↗
← N 55.285373°
W 11.749878°		 ← 347.87 m → N 55.285373°
W 11.744385°		 →
↑
347.86 m
↓
↑
347.86 m
↓
N 55.282244°
W 11.749878°		 ← 347.90 m →
121 015 m²		 N 55.282244°
W 11.744385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467369079589844 y=0.314918518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467369079589844 × 216)
    floor (0.467369079589844 × 65536)
    floor (30629.5)     		tx = 30629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314918518066406 × 216)
    floor (0.314918518066406 × 65536)
    floor (20638.5)     		ty = 20638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30629 / 20638 ti = "16/30629/20638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30629/20638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30629 ÷ 216
    30629 ÷ 65536     		x = 0.467361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20638 ÷ 216
    20638 ÷ 65536     		y = 0.314910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467361450195312 × 2 - 1) × π
    -0.065277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20507406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314910888671875 × 2 - 1) × π
    0.37017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16294918478256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20507406} λ = -0.20507406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16294918478256))-π/2
    2×atan(3.19935486496589)-π/2
    2×1.26785405152081-π/2
    2.53570810304162-1.57079632675     		φ = 0.96491178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20507406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.749878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96491178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.285373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30629 KachelY 20638 -0.20507406 0.96491178 -11.749878 55.285373
    Oben rechts KachelX + 1 30630 KachelY 20638 -0.20497818 0.96491178 -11.744385 55.285373
    Unten links KachelX 30629 KachelY + 1 20639 -0.20507406 0.96485718 -11.749878 55.282244
    Unten rechts KachelX + 1 30630 KachelY + 1 20639 -0.20497818 0.96485718 -11.744385 55.282244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96491178-0.96485718) × R
    5.46000000000157e-05 × 6371000     		dl = 347.8566000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96491178-0.96485718) × R
    5.46000000000157e-05 × 6371000     		dr = 347.8566000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20507406--0.20497818) × cos(0.96491178) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569489395252023 × 6371000     		do = 347.873439933976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20507406--0.20497818) × cos(0.96485718) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569534275531018 × 6371000     		du = 347.900855118823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96491178)-sin(0.96485718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569489395252023-0.569534275531018)×R²
    abs(-0.20497818--0.20507406)×4.48802789955183e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48802789955183e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48802789955183e-05×40589641000000     		ar = 121014.840352461m²