Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30624 / 20637
↖ ↑ ↗
← N 55.288500°
W 11.777344°		 ← 347.85 m → N 55.288500°
W 11.771850°		 →
↑
347.79 m
↓
↑
347.79 m
↓
N 55.285373°
W 11.777344°		 ← 347.87 m →
120 983 m²		 N 55.285373°
W 11.771850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467292785644531 y=0.314903259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467292785644531 × 216)
    floor (0.467292785644531 × 65536)
    floor (30624.5)     		tx = 30624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314903259277344 × 216)
    floor (0.314903259277344 × 65536)
    floor (20637.5)     		ty = 20637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30624 / 20637 ti = "16/30624/20637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30624/20637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30624 ÷ 216
    30624 ÷ 65536     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20637 ÷ 216
    20637 ÷ 65536     		y = 0.314895629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314895629882812 × 2 - 1) × π
    0.370208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1630450585818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1630450585818))-π/2
    2×atan(3.19966161397627)-π/2
    2×1.26788135000123-π/2
    2.53576270000247-1.57079632675     		φ = 0.96496637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96496637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.288500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30624 KachelY 20637 -0.20555343 0.96496637 -11.777344 55.288500
    Oben rechts KachelX + 1 30625 KachelY 20637 -0.20545755 0.96496637 -11.771850 55.288500
    Unten links KachelX 30624 KachelY + 1 20638 -0.20555343 0.96491178 -11.777344 55.285373
    Unten rechts KachelX + 1 30625 KachelY + 1 20638 -0.20545755 0.96491178 -11.771850 55.285373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96496637-0.96491178) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dl = 347.79288999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96496637-0.96491178) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dr = 347.79288999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20545755) × cos(0.96496637) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.569444521495586 × 6371000     		do = 347.846028733544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20545755) × cos(0.96491178) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.569489395252023 × 6371000     		du = 347.873439934077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96496637)-sin(0.96491178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569444521495586-0.569489395252023)×R²
    abs(-0.20545755--0.20555343)×4.48737564366919e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.48737564366919e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.48737564366919e-05×40589641000000     		ar = 120983.142348543m²