Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30624 / 16864
↖ ↑ ↗
← N 65.440002°
W 11.777344°		 ← 253.90 m → N 65.440002°
W 11.771850°		 →
↑
253.88 m
↓
↑
253.88 m
↓
N 65.437718°
W 11.777344°		 ← 253.92 m →
64 464 m²		 N 65.437718°
W 11.771850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467292785644531 y=0.257331848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467292785644531 × 216)
    floor (0.467292785644531 × 65536)
    floor (30624.5)     		tx = 30624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257331848144531 × 216)
    floor (0.257331848144531 × 65536)
    floor (16864.5)     		ty = 16864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30624 / 16864 ti = "16/30624/16864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30624/16864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30624 ÷ 216
    30624 ÷ 65536     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16864 ÷ 216
    16864 ÷ 65536     		y = 0.25732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25732421875 × 2 - 1) × π
    0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52477690311475))-π/2
    2×atan(4.59411852143583)-π/2
    2×1.35646990912416-π/2
    2.71293981824832-1.57079632675     		φ = 1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30624 KachelY 16864 -0.20555343 1.14214349 -11.777344 65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 30625 KachelY 16864 -0.20545755 1.14214349 -11.771850 65.440002
    Unten links KachelX 30624 KachelY + 1 16865 -0.20555343 1.14210364 -11.777344 65.437718
    Unten rechts KachelX + 1 30625 KachelY + 1 16865 -0.20545755 1.14210364 -11.771850 65.437718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14214349-1.14210364) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dl = 253.884350000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14214349-1.14210364) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dr = 253.884350000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20545755) × cos(1.14214349) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 253.897912748446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20545755) × cos(1.14210364) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.415682143609971 × 6371000     		du = 253.920052633777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14214349)-sin(1.14210364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.415682143609971)×R²
    abs(-0.20545755--0.20555343)×3.6244301693078e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.6244301693078e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.6244301693078e-05×40589641000000     		ar = 64463.5170384547m²