Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30623 / 20638
↖ ↑ ↗
← N 55.285373°
W 11.782837°		 ← 347.84 m → N 55.285373°
W 11.777344°		 →
↑
347.86 m
↓
↑
347.86 m
↓
N 55.282244°
W 11.782837°		 ← 347.86 m →
121 002 m²		 N 55.282244°
W 11.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467277526855469 y=0.314918518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467277526855469 × 216)
    floor (0.467277526855469 × 65536)
    floor (30623.5)     		tx = 30623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314918518066406 × 216)
    floor (0.314918518066406 × 65536)
    floor (20638.5)     		ty = 20638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30623 / 20638 ti = "16/30623/20638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30623/20638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30623 ÷ 216
    30623 ÷ 65536     		x = 0.467269897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20638 ÷ 216
    20638 ÷ 65536     		y = 0.314910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467269897460938 × 2 - 1) × π
    -0.065460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20564930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314910888671875 × 2 - 1) × π
    0.37017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16294918478256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20564930} λ = -0.20564930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16294918478256))-π/2
    2×atan(3.19935486496589)-π/2
    2×1.26785405152081-π/2
    2.53570810304162-1.57079632675     		φ = 0.96491178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20564930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96491178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.285373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30623 KachelY 20638 -0.20564930 0.96491178 -11.782837 55.285373
    Oben rechts KachelX + 1 30624 KachelY 20638 -0.20555343 0.96491178 -11.777344 55.285373
    Unten links KachelX 30623 KachelY + 1 20639 -0.20564930 0.96485718 -11.782837 55.282244
    Unten rechts KachelX + 1 30624 KachelY + 1 20639 -0.20555343 0.96485718 -11.777344 55.282244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96491178-0.96485718) × R
    5.46000000000157e-05 × 6371000     		dl = 347.8566000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96491178-0.96485718) × R
    5.46000000000157e-05 × 6371000     		dr = 347.8566000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20564930--0.20555343) × cos(0.96491178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.569489395252023 × 6371000     		do = 347.837157764624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20564930--0.20555343) × cos(0.96485718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.569534275531018 × 6371000     		du = 347.864570090149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96491178)-sin(0.96485718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569489395252023-0.569534275531018)×R²
    abs(-0.20555343--0.20564930)×4.48802789955183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48802789955183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48802789955183e-05×40589641000000     		ar = 121002.21886307m²