Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3062 / 3242
↖ ↑ ↗
← S 71.801410°
E 89.121094°		 ← 3 052.22 m → S 71.801410°
E 89.208984°		 →
↑
3 049.99 m
↓
↑
3 049.99 m
↓
S 71.828840°
E 89.121094°		 ← 3 047.77 m →
9 302 448 m²		 S 71.828840°
E 89.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7476806640625 y=0.7916259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7476806640625 × 212)
    floor (0.7476806640625 × 4096)
    floor (3062.5)     		tx = 3062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7916259765625 × 212)
    floor (0.7916259765625 × 4096)
    floor (3242.5)     		ty = 3242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3062 / 3242 ti = "12/3062/3242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3062/3242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3062 ÷ 212
    3062 ÷ 4096     		x = 0.74755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3242 ÷ 212
    3242 ÷ 4096     		y = 0.79150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74755859375 × 2 - 1) × π
    0.4951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55545652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83157306068311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55545652} λ = 1.55545652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83157306068311))-π/2
    2×atan(0.160161425867924)-π/2
    2×0.158812654738502-π/2
    0.317625309477003-1.57079632675     		φ = -1.25317102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55545652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25317102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.801410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3062 KachelY 3242 1.55545652 -1.25317102 89.121094 -71.801410
    Oben rechts KachelX + 1 3063 KachelY 3242 1.55699050 -1.25317102 89.208984 -71.801410
    Unten links KachelX 3062 KachelY + 1 3243 1.55545652 -1.25364975 89.121094 -71.828840
    Unten rechts KachelX + 1 3063 KachelY + 1 3243 1.55699050 -1.25364975 89.208984 -71.828840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25317102--1.25364975) × R
    0.000478729999999983 × 6371000     		dl = 3049.98882999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25317102--1.25364975) × R
    0.000478729999999983 × 6371000     		dr = 3049.98882999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55545652-1.55699050) × cos(-1.25317102) × R
    0.00153398000000005 × 0.312311532890939 × 6371000     		do = 3052.21641972247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55545652-1.55699050) × cos(-1.25364975) × R
    0.00153398000000005 × 0.311856713319223 × 6371000     		du = 3047.77147415176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25317102)-sin(-1.25364975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312311532890939-0.311856713319223)×R²
    abs(1.55699050-1.55545652)×0.000454819571716669×R²
    0.00153398000000005×0.000454819571716669×6371000²
    0.00153398000000005×0.000454819571716669×40589641000000     		ar = 9302447.6473923m²