Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30619 / 20504
↖ ↑ ↗
← N 55.702355°
W 11.804809°		 ← 344.17 m → N 55.702355°
W 11.799316°		 →
↑
344.23 m
↓
↑
344.23 m
↓
N 55.699260°
W 11.804809°		 ← 344.20 m →
118 478 m²		 N 55.699260°
W 11.799316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467216491699219 y=0.312873840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467216491699219 × 216)
    floor (0.467216491699219 × 65536)
    floor (30619.5)     		tx = 30619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312873840332031 × 216)
    floor (0.312873840332031 × 65536)
    floor (20504.5)     		ty = 20504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30619 / 20504 ti = "16/30619/20504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30619/20504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30619 ÷ 216
    30619 ÷ 65536     		x = 0.467208862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20504 ÷ 216
    20504 ÷ 65536     		y = 0.3128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467208862304688 × 2 - 1) × π
    -0.065582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20603279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3128662109375 × 2 - 1) × π
    0.374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17579627388074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20603279} λ = -0.20603279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17579627388074))-π/2
    2×atan(3.24072241933442)-π/2
    2×1.27149291213429-π/2
    2.54298582426857-1.57079632675     		φ = 0.97218950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20603279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.804809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97218950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.702355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30619 KachelY 20504 -0.20603279 0.97218950 -11.804809 55.702355
    Oben rechts KachelX + 1 30620 KachelY 20504 -0.20593692 0.97218950 -11.799316 55.702355
    Unten links KachelX 30619 KachelY + 1 20505 -0.20603279 0.97213547 -11.804809 55.699260
    Unten rechts KachelX + 1 30620 KachelY + 1 20505 -0.20593692 0.97213547 -11.799316 55.699260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97218950-0.97213547) × R
    5.40300000000382e-05 × 6371000     		dl = 344.225130000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97218950-0.97213547) × R
    5.40300000000382e-05 × 6371000     		dr = 344.225130000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20603279--0.20593692) × cos(0.97218950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563492090336969 × 6371000     		do = 344.174077269548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20603279--0.20593692) × cos(0.97213547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563536724856863 × 6371000     		du = 344.20133948842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97218950)-sin(0.97213547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563492090336969-0.563536724856863)×R²
    abs(-0.20593692--0.20603279)×4.46345198943376e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46345198943376e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46345198943376e-05×40589641000000     		ar = 118478.058689985m²