Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30617 / 7016
↖ ↑ ↗
← N 71.159391°
E156.368408°		 ← 394.51 m → N 71.159391°
E156.379395°		 →
↑
394.49 m
↓
↑
394.49 m
↓
N 71.155843°
E156.368408°		 ← 394.58 m →
155 646 m²		 N 71.155843°
E156.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934371948242188 y=0.214126586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934371948242188 × 215)
    floor (0.934371948242188 × 32768)
    floor (30617.5)     		tx = 30617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214126586914062 × 215)
    floor (0.214126586914062 × 32768)
    floor (7016.5)     		ty = 7016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30617 / 7016 ti = "15/30617/7016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30617/7016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30617 ÷ 215
    30617 ÷ 32768     		x = 0.934356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7016 ÷ 215
    7016 ÷ 32768     		y = 0.214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934356689453125 × 2 - 1) × π
    0.86871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.72914357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214111328125 × 2 - 1) × π
    0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72914357} λ = 2.72914357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79629150256274))-π/2
    2×atan(6.02725391117705)-π/2
    2×1.40638100035856-π/2
    2.81276200071712-1.57079632675     		φ = 1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72914357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30617 KachelY 7016 2.72914357 1.24196567 156.368408 71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 30618 KachelY 7016 2.72933532 1.24196567 156.379395 71.159391
    Unten links KachelX 30617 KachelY + 1 7017 2.72914357 1.24190375 156.368408 71.155843
    Unten rechts KachelX + 1 30618 KachelY + 1 7017 2.72933532 1.24190375 156.379395 71.155843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24196567-1.24190375) × R
    6.19199999998266e-05 × 6371000     		dl = 394.492319998895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24196567-1.24190375) × R
    6.19199999998266e-05 × 6371000     		dr = 394.492319998895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72914357-2.72933532) × cos(1.24196567) × R
    0.000191749999999935 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 394.5119756347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72914357-2.72933532) × cos(1.24190375) × R
    0.000191749999999935 × 0.322995160663854 × 6371000     		du = 394.583565826887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24196567)-sin(1.24190375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322995160663854)×R²
    abs(2.72933532-2.72914357)×5.8601745308029e-05×R²
    0.000191749999999935×5.8601745308029e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.8601745308029e-05×40589641000000     		ar = 155646.065476371m²