Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30616 / 7017
↖ ↑ ↗
← N 71.155843°
E156.357422°		 ← 394.58 m → N 71.155843°
E156.368408°		 →
↑
394.62 m
↓
↑
394.62 m
↓
N 71.152295°
E156.357422°		 ← 394.66 m →
155 725 m²		 N 71.152295°
E156.368408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934341430664062 y=0.214157104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934341430664062 × 215)
    floor (0.934341430664062 × 32768)
    floor (30616.5)     		tx = 30616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214157104492188 × 215)
    floor (0.214157104492188 × 32768)
    floor (7017.5)     		ty = 7017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30616 / 7017 ti = "15/30616/7017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30616/7017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30616 ÷ 215
    30616 ÷ 32768     		x = 0.934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7017 ÷ 215
    7017 ÷ 32768     		y = 0.214141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934326171875 × 2 - 1) × π
    0.86865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.72895182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214141845703125 × 2 - 1) × π
    0.57171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79609975496426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72895182} λ = 2.72895182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79609975496426))-π/2
    2×atan(6.02609831050952)-π/2
    2×1.40635003639463-π/2
    2.81270007278926-1.57079632675     		φ = 1.24190375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72895182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24190375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.155843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30616 KachelY 7017 2.72895182 1.24190375 156.357422 71.155843
    Oben rechts KachelX + 1 30617 KachelY 7017 2.72914357 1.24190375 156.368408 71.155843
    Unten links KachelX 30616 KachelY + 1 7018 2.72895182 1.24184181 156.357422 71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 30617 KachelY + 1 7018 2.72914357 1.24184181 156.368408 71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24190375-1.24184181) × R
    6.19400000001491e-05 × 6371000     		dl = 394.61974000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24190375-1.24184181) × R
    6.19400000001491e-05 × 6371000     		dr = 394.61974000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72895182-2.72914357) × cos(1.24190375) × R
    0.000191750000000379 × 0.322995160663854 × 6371000     		do = 394.5835658278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72895182-2.72914357) × cos(1.24184181) × R
    0.000191750000000379 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 394.655177629834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24190375)-sin(1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322995160663854-0.323053780098383)×R²
    abs(2.72914357-2.72895182)×5.86194345292834e-05×R²
    0.000191750000000379×5.86194345292834e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.86194345292834e-05×40589641000000     		ar = 155724.593920342m²