Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30611 / 20467
↖ ↑ ↗
← N 55.816715°
W 11.848755°		 ← 343.17 m → N 55.816715°
W 11.843262°		 →
↑
343.21 m
↓
↑
343.21 m
↓
N 55.813629°
W 11.848755°		 ← 343.19 m →
117 781 m²		 N 55.813629°
W 11.843262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467094421386719 y=0.312309265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467094421386719 × 216)
    floor (0.467094421386719 × 65536)
    floor (30611.5)     		tx = 30611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312309265136719 × 216)
    floor (0.312309265136719 × 65536)
    floor (20467.5)     		ty = 20467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30611 / 20467 ti = "16/30611/20467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30611/20467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30611 ÷ 216
    30611 ÷ 65536     		x = 0.467086791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20467 ÷ 216
    20467 ÷ 65536     		y = 0.312301635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467086791992188 × 2 - 1) × π
    -0.065826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20679978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312301635742188 × 2 - 1) × π
    0.375396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17934360445262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20679978} λ = -0.20679978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17934360445262))-π/2
    2×atan(3.25223874708191)-π/2
    2×1.27249089481216-π/2
    2.54498178962432-1.57079632675     		φ = 0.97418546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20679978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.848755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97418546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.816715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30611 KachelY 20467 -0.20679978 0.97418546 -11.848755 55.816715
    Oben rechts KachelX + 1 30612 KachelY 20467 -0.20670391 0.97418546 -11.843262 55.816715
    Unten links KachelX 30611 KachelY + 1 20468 -0.20679978 0.97413159 -11.848755 55.813629
    Unten rechts KachelX + 1 30612 KachelY + 1 20468 -0.20670391 0.97413159 -11.843262 55.813629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97418546-0.97413159) × R
    5.38699999999004e-05 × 6371000     		dl = 343.205769999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97418546-0.97413159) × R
    5.38699999999004e-05 × 6371000     		dr = 343.205769999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20679978--0.20670391) × cos(0.97418546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561842063610185 × 6371000     		do = 343.166261124655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20679978--0.20670391) × cos(0.97413159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561886626457219 × 6371000     		du = 343.19347956662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97418546)-sin(0.97413159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561842063610185-0.561886626457219)×R²
    abs(-0.20670391--0.20679978)×4.45628470342463e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45628470342463e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45628470342463e-05×40589641000000     		ar = 117781.311678649m²