Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30609 / 20464
↖ ↑ ↗
← N 55.825973°
W 11.859741°		 ← 343.08 m → N 55.825973°
W 11.854248°		 →
↑
343.08 m
↓
↑
343.08 m
↓
N 55.822888°
W 11.859741°		 ← 343.11 m →
117 710 m²		 N 55.822888°
W 11.854248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467063903808594 y=0.312263488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467063903808594 × 216)
    floor (0.467063903808594 × 65536)
    floor (30609.5)     		tx = 30609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312263488769531 × 216)
    floor (0.312263488769531 × 65536)
    floor (20464.5)     		ty = 20464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30609 / 20464 ti = "16/30609/20464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30609/20464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30609 ÷ 216
    30609 ÷ 65536     		x = 0.467056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20464 ÷ 216
    20464 ÷ 65536     		y = 0.312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467056274414062 × 2 - 1) × π
    -0.065887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20699153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312255859375 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20699153} λ = -0.20699153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17963122585034))-π/2
    2×atan(3.25317429507142)-π/2
    2×1.27257168409968-π/2
    2.54514336819935-1.57079632675     		φ = 0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20699153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.859741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30609 KachelY 20464 -0.20699153 0.97434704 -11.859741 55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 30610 KachelY 20464 -0.20689566 0.97434704 -11.854248 55.825973
    Unten links KachelX 30609 KachelY + 1 20465 -0.20699153 0.97429319 -11.859741 55.822888
    Unten rechts KachelX + 1 30610 KachelY + 1 20465 -0.20689566 0.97429319 -11.854248 55.822888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97434704-0.97429319) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dl = 343.07835000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97434704-0.97429319) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dr = 343.07835000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20699153--0.20689566) × cos(0.97434704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 343.084614983702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20699153--0.20689566) × cos(0.97429319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561752941297938 × 6371000     		du = 343.111826306301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97434704)-sin(0.97429319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.561752941297938)×R²
    abs(-0.20689566--0.20699153)×4.45511909958896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45511909958896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45511909958896e-05×40589641000000     		ar = 117709.571454944m²