Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30608 / 17137
↖ ↑ ↗
← N 64.809219°
W 11.865235°		 ← 260 m → N 64.809219°
W 11.859741°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
N 64.806881°
W 11.865235°		 ← 260.02 m →
67 603 m²		 N 64.806881°
W 11.859741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467048645019531 y=0.261497497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467048645019531 × 216)
    floor (0.467048645019531 × 65536)
    floor (30608.5)     		tx = 30608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261497497558594 × 216)
    floor (0.261497497558594 × 65536)
    floor (17137.5)     		ty = 17137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30608 / 17137 ti = "16/30608/17137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30608/17137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30608 ÷ 216
    30608 ÷ 65536     		x = 0.467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17137 ÷ 216
    17137 ÷ 65536     		y = 0.261489868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.06591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20708741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261489868164062 × 2 - 1) × π
    0.477020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4986033559222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20708741} λ = -0.20708741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4986033559222))-π/2
    2×atan(4.47543411482945)-π/2
    2×1.35096529439432-π/2
    2.70193058878864-1.57079632675     		φ = 1.13113426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20708741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.865235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13113426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.809219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30608 KachelY 17137 -0.20708741 1.13113426 -11.865235 64.809219
    Oben rechts KachelX + 1 30609 KachelY 17137 -0.20699153 1.13113426 -11.859741 64.809219
    Unten links KachelX 30608 KachelY + 1 17138 -0.20708741 1.13109345 -11.865235 64.806881
    Unten rechts KachelX + 1 30609 KachelY + 1 17138 -0.20699153 1.13109345 -11.859741 64.806881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13113426-1.13109345) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13113426-1.13109345) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20708741--0.20699153) × cos(1.13113426) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.425633695121546 × 6371000     		do = 259.998972602845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20708741--0.20699153) × cos(1.13109345) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42567062355452 × 6371000     		du = 260.021530390782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13113426)-sin(1.13109345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425633695121546-0.42567062355452)×R²
    abs(-0.20699153--0.20708741)×3.69284329744812e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69284329744812e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69284329744812e-05×40589641000000     		ar = 67602.7980040109m²