Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30605 / 7055
↖ ↑ ↗
← N 71.020533°
E156.236572°		 ← 397.31 m → N 71.020533°
E156.247559°		 →
↑
397.36 m
↓
↑
397.36 m
↓
N 71.016960°
E156.236572°		 ← 397.38 m →
157 890 m²		 N 71.016960°
E156.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934005737304688 y=0.215316772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934005737304688 × 215)
    floor (0.934005737304688 × 32768)
    floor (30605.5)     		tx = 30605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215316772460938 × 215)
    floor (0.215316772460938 × 32768)
    floor (7055.5)     		ty = 7055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30605 / 7055 ti = "15/30605/7055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30605/7055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30605 ÷ 215
    30605 ÷ 32768     		x = 0.933990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7055 ÷ 215
    7055 ÷ 32768     		y = 0.215301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933990478515625 × 2 - 1) × π
    0.86798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72684260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215301513671875 × 2 - 1) × π
    0.56939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78881334622202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72684260} λ = 2.72684260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78881334622202))-π/2
    2×atan(5.9823492753336)-π/2
    2×1.40516923344385-π/2
    2.8103384668877-1.57079632675     		φ = 1.23954214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72684260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23954214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.020533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30605 KachelY 7055 2.72684260 1.23954214 156.236572 71.020533
    Oben rechts KachelX + 1 30606 KachelY 7055 2.72703435 1.23954214 156.247559 71.020533
    Unten links KachelX 30605 KachelY + 1 7056 2.72684260 1.23947977 156.236572 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 30606 KachelY + 1 7056 2.72703435 1.23947977 156.247559 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23954214-1.23947977) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dl = 397.359269999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23954214-1.23947977) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dr = 397.359269999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72684260-2.72703435) × cos(1.23954214) × R
    0.000191749999999935 × 0.325229287041174 × 6371000     		do = 397.31286229888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72684260-2.72703435) × cos(1.23947977) × R
    0.000191749999999935 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 397.384912913246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23954214)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325229287041174-0.325288265675305)×R²
    abs(2.72703435-2.72684260)×5.89786341317344e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89786341317344e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89786341317344e-05×40589641000000     		ar = 157890.263965696m²