Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30603 / 16854
↖ ↑ ↗
← N 65.462824°
W 11.892700°		 ← 253.68 m → N 65.462824°
W 11.887207°		 →
↑
253.63 m
↓
↑
253.63 m
↓
N 65.460543°
W 11.892700°		 ← 253.70 m →
64 343 m²		 N 65.460543°
W 11.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466972351074219 y=0.257179260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466972351074219 × 216)
    floor (0.466972351074219 × 65536)
    floor (30603.5)     		tx = 30603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257179260253906 × 216)
    floor (0.257179260253906 × 65536)
    floor (16854.5)     		ty = 16854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30603 / 16854 ti = "16/30603/16854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30603/16854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30603 ÷ 216
    30603 ÷ 65536     		x = 0.466964721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16854 ÷ 216
    16854 ÷ 65536     		y = 0.257171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466964721679688 × 2 - 1) × π
    -0.066070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20756678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257171630859375 × 2 - 1) × π
    0.48565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52573564110715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20756678} λ = -0.20756678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52573564110715))-π/2
    2×atan(4.59852518948642)-π/2
    2×1.35666907002925-π/2
    2.71333814005849-1.57079632675     		φ = 1.14254181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20756678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.892700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14254181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.462824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30603 KachelY 16854 -0.20756678 1.14254181 -11.892700 65.462824
    Oben rechts KachelX + 1 30604 KachelY 16854 -0.20747090 1.14254181 -11.887207 65.462824
    Unten links KachelX 30603 KachelY + 1 16855 -0.20756678 1.14250200 -11.892700 65.460543
    Unten rechts KachelX + 1 30604 KachelY + 1 16855 -0.20747090 1.14250200 -11.887207 65.460543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14254181-1.14250200) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dl = 253.629510000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14254181-1.14250200) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dr = 253.629510000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20756678--0.20747090) × cos(1.14254181) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415283583742386 × 6371000     		do = 253.676591748721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20756678--0.20747090) × cos(1.14250200) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415319798252041 × 6371000     		du = 253.698713435541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14254181)-sin(1.14250200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415283583742386-0.415319798252041)×R²
    abs(-0.20747090--0.20756678)×3.62145096557409e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.62145096557409e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.62145096557409e-05×40589641000000     		ar = 64342.6750285479m²