Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30601 / 28547
↖ ↑ ↗
← N 70.726260°
W 95.951843°		 ← 100.82 m → N 70.726260°
W 95.949097°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 70.725353°
W 95.951843°		 ← 100.82 m →
10 161 m²		 N 70.725353°
W 95.949097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233470916748047 y=0.217800140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233470916748047 × 217)
    floor (0.233470916748047 × 131072)
    floor (30601.5)     		tx = 30601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217800140380859 × 217)
    floor (0.217800140380859 × 131072)
    floor (28547.5)     		ty = 28547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30601 / 28547 ti = "17/30601/28547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30601/28547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30601 ÷ 217
    30601 ÷ 131072     		x = 0.233467102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28547 ÷ 217
    28547 ÷ 131072     		y = 0.217796325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233467102050781 × 2 - 1) × π
    -0.533065795898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.67467559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217796325683594 × 2 - 1) × π
    0.564407348632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.77313798004626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67467559} λ = -1.67467559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77313798004626))-π/2
    2×atan(5.88930491725128)-π/2
    2×1.4026012144477-π/2
    2.8052024288954-1.57079632675     		φ = 1.23440610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67467559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.951843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23440610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.726260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30601 KachelY 28547 -1.67467559 1.23440610 -95.951843 70.726260
    Oben rechts KachelX + 1 30602 KachelY 28547 -1.67462765 1.23440610 -95.949097 70.726260
    Unten links KachelX 30601 KachelY + 1 28548 -1.67467559 1.23439028 -95.951843 70.725353
    Unten rechts KachelX + 1 30602 KachelY + 1 28548 -1.67462765 1.23439028 -95.949097 70.725353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23440610-1.23439028) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23440610-1.23439028) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67467559--1.67462765) × cos(1.23440610) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.330081796257746 × 6371000     		do = 100.815476882952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67467559--1.67462765) × cos(1.23439028) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		du = 100.820037892455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23440610)-sin(1.23439028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330081796257746-0.330096729542355)×R²
    abs(-1.67462765--1.67467559)×1.49332846089978e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49332846089978e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49332846089978e-05×40589641000000     		ar = 10161.3431293943m²