Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30600 / 28542
↖ ↑ ↗
← N 70.730792°
W 95.954590°		 ← 100.79 m → N 70.730792°
W 95.951843°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 70.729886°
W 95.954590°		 ← 100.80 m →
10 159 m²		 N 70.729886°
W 95.951843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233463287353516 y=0.217761993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233463287353516 × 217)
    floor (0.233463287353516 × 131072)
    floor (30600.5)     		tx = 30600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217761993408203 × 217)
    floor (0.217761993408203 × 131072)
    floor (28542.5)     		ty = 28542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30600 / 28542 ti = "17/30600/28542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30600/28542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30600 ÷ 217
    30600 ÷ 131072     		x = 0.23345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28542 ÷ 217
    28542 ÷ 131072     		y = 0.217758178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.5330810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67472353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217758178710938 × 2 - 1) × π
    0.564483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77337766454436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67472353} λ = -1.67472353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77337766454436))-π/2
    2×atan(5.89071666152438)-π/2
    2×1.40264076771761-π/2
    2.80528153543521-1.57079632675     		φ = 1.23448521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67472353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.954590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23448521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.730792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30600 KachelY 28542 -1.67472353 1.23448521 -95.954590 70.730792
    Oben rechts KachelX + 1 30601 KachelY 28542 -1.67467559 1.23448521 -95.951843 70.730792
    Unten links KachelX 30600 KachelY + 1 28543 -1.67472353 1.23446939 -95.954590 70.729886
    Unten rechts KachelX + 1 30601 KachelY + 1 28543 -1.67467559 1.23446939 -95.951843 70.729886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23448521-1.23446939) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23448521-1.23446939) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67472353--1.67467559) × cos(1.23448521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330007119155836 × 6371000     		do = 100.792668573373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67472353--1.67467559) × cos(1.23446939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330022052853512 × 6371000     		du = 100.797229709037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23448521)-sin(1.23446939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330007119155836-0.330022052853512)×R²
    abs(-1.67467559--1.67472353)×1.49336976756342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49336976756342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49336976756342e-05×40589641000000     		ar = 10159.044304124m²