Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3060 / 3171
↖ ↑ ↗
← S 69.748551°
E 88.945313°		 ← 3 382.83 m → S 69.748551°
E 89.033203°		 →
↑
3 380.39 m
↓
↑
3 380.39 m
↓
S 69.778952°
E 88.945313°		 ← 3 377.96 m →
11 427 055 m²		 S 69.778952°
E 89.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7471923828125 y=0.7742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7471923828125 × 212)
    floor (0.7471923828125 × 4096)
    floor (3060.5)     		tx = 3060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7742919921875 × 212)
    floor (0.7742919921875 × 4096)
    floor (3171.5)     		ty = 3171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3060 / 3171 ti = "12/3060/3171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3060/3171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3060 ÷ 212
    3060 ÷ 4096     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3171 ÷ 212
    3171 ÷ 4096     		y = 0.774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72266042474634))-π/2
    2×atan(0.178590389041307)-π/2
    2×0.176727230556573-π/2
    0.353454461113147-1.57079632675     		φ = -1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3060 KachelY 3171 1.55238856 -1.21734187 88.945313 -69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 3061 KachelY 3171 1.55392254 -1.21734187 89.033203 -69.748551
    Unten links KachelX 3060 KachelY + 1 3172 1.55238856 -1.21787246 88.945313 -69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 3061 KachelY + 1 3172 1.55392254 -1.21787246 89.033203 -69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21734187--1.21787246) × R
    0.000530589999999886 × 6371000     		dl = 3380.38888999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21734187--1.21787246) × R
    0.000530589999999886 × 6371000     		dr = 3380.38888999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55392254) × cos(-1.21734187) × R
    0.00153398000000005 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 3382.82917337666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55392254) × cos(-1.21787246) × R
    0.00153398000000005 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 3377.96379953017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21734187)-sin(-1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.345642938510007)×R²
    abs(1.55392254-1.55238856)×0.000497838998003652×R²
    0.00153398000000005×0.000497838998003652×6371000²
    0.00153398000000005×0.000497838998003652×40589641000000     		ar = 11427054.9946833m²