Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3060 / 3157
↖ ↑ ↗
← S 69.318320°
E 88.945313°		 ← 3 451.58 m → S 69.318320°
E 89.033203°		 →
↑
3 449.07 m
↓
↑
3 449.07 m
↓
S 69.349338°
E 88.945313°		 ← 3 446.63 m →
11 896 204 m²		 S 69.349338°
E 89.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7471923828125 y=0.7708740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7471923828125 × 212)
    floor (0.7471923828125 × 4096)
    floor (3060.5)     		tx = 3060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7708740234375 × 212)
    floor (0.7708740234375 × 4096)
    floor (3157.5)     		ty = 3157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3060 / 3157 ti = "12/3060/3157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3060/3157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3060 ÷ 212
    3060 ÷ 4096     		x = 0.7470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3157 ÷ 212
    3157 ÷ 4096     		y = 0.770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55238856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55238856} λ = 1.55238856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70118469371655))-π/2
    2×atan(0.182467228177152)-π/2
    2×0.180481704824096-π/2
    0.360963409648192-1.57079632675     		φ = -1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55238856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.945313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3060 KachelY 3157 1.55238856 -1.20983292 88.945313 -69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 3061 KachelY 3157 1.55392254 -1.20983292 89.033203 -69.318320
    Unten links KachelX 3060 KachelY + 1 3158 1.55238856 -1.21037429 88.945313 -69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 3061 KachelY + 1 3158 1.55392254 -1.21037429 89.033203 -69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20983292--1.21037429) × R
    0.000541370000000096 × 6371000     		dl = 3449.06827000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20983292--1.21037429) × R
    0.000541370000000096 × 6371000     		dr = 3449.06827000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55238856-1.55392254) × cos(-1.20983292) × R
    0.00153398000000005 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 3451.58156229352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55238856-1.55392254) × cos(-1.21037429) × R
    0.00153398000000005 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 3446.63121009822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20983292)-sin(-1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.352669184786511)×R²
    abs(1.55392254-1.55238856)×0.00050653422623459×R²
    0.00153398000000005×0.00050653422623459×6371000²
    0.00153398000000005×0.00050653422623459×40589641000000     		ar = 11896203.6870301m²