Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30597 / 28563
↖ ↑ ↗
← N 70.711749°
W 95.962830°		 ← 100.89 m → N 70.711749°
W 95.960083°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 70.710842°
W 95.962830°		 ← 100.89 m →
10 175 m²		 N 70.710842°
W 95.960083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233440399169922 y=0.217922210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233440399169922 × 217)
    floor (0.233440399169922 × 131072)
    floor (30597.5)     		tx = 30597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217922210693359 × 217)
    floor (0.217922210693359 × 131072)
    floor (28563.5)     		ty = 28563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30597 / 28563 ti = "17/30597/28563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30597/28563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30597 ÷ 217
    30597 ÷ 131072     		x = 0.233436584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28563 ÷ 217
    28563 ÷ 131072     		y = 0.217918395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233436584472656 × 2 - 1) × π
    -0.533126831054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.67486734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217918395996094 × 2 - 1) × π
    0.564163208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.77237098965234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67486734} λ = -1.67486734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77237098965234))-π/2
    2×atan(5.88478960877334)-π/2
    2×1.40247458383144-π/2
    2.80494916766288-1.57079632675     		φ = 1.23415284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67486734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.962830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23415284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.711749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30597 KachelY 28563 -1.67486734 1.23415284 -95.962830 70.711749
    Oben rechts KachelX + 1 30598 KachelY 28563 -1.67481940 1.23415284 -95.960083 70.711749
    Unten links KachelX 30597 KachelY + 1 28564 -1.67486734 1.23413701 -95.962830 70.710842
    Unten rechts KachelX + 1 30598 KachelY + 1 28564 -1.67481940 1.23413701 -95.960083 70.710842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23415284-1.23413701) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23415284-1.23413701) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67486734--1.67481940) × cos(1.23415284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330320851037327 × 6371000     		do = 100.888490365439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67486734--1.67481940) × cos(1.23413701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330335792437566 × 6371000     		du = 100.893053853664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23415284)-sin(1.23413701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330320851037327-0.330335792437566)×R²
    abs(-1.67481940--1.67486734)×1.49414002380555e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49414002380555e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49414002380555e-05×40589641000000     		ar = 10175.1299772753m²