Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30595 / 20623
↖ ↑ ↗
← N 55.332269°
W 11.936646°		 ← 347.46 m → N 55.332269°
W 11.931152°		 →
↑
347.47 m
↓
↑
347.47 m
↓
N 55.329144°
W 11.936646°		 ← 347.49 m →
120 739 m²		 N 55.329144°
W 11.931152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466850280761719 y=0.314689636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466850280761719 × 216)
    floor (0.466850280761719 × 65536)
    floor (30595.5)     		tx = 30595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314689636230469 × 216)
    floor (0.314689636230469 × 65536)
    floor (20623.5)     		ty = 20623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30595 / 20623 ti = "16/30595/20623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30595/20623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30595 ÷ 216
    30595 ÷ 65536     		x = 0.466842651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20623 ÷ 216
    20623 ÷ 65536     		y = 0.314682006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466842651367188 × 2 - 1) × π
    -0.066314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20833377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314682006835938 × 2 - 1) × π
    0.370635986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16438729177116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20833377} λ = -0.20833377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16438729177116))-π/2
    2×atan(3.20395918951834)-π/2
    2×1.26826330287673-π/2
    2.53652660575347-1.57079632675     		φ = 0.96573028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20833377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.936646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96573028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.332269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30595 KachelY 20623 -0.20833377 0.96573028 -11.936646 55.332269
    Oben rechts KachelX + 1 30596 KachelY 20623 -0.20823789 0.96573028 -11.931152 55.332269
    Unten links KachelX 30595 KachelY + 1 20624 -0.20833377 0.96567574 -11.936646 55.329144
    Unten rechts KachelX + 1 30596 KachelY + 1 20624 -0.20823789 0.96567574 -11.931152 55.329144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96573028-0.96567574) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dl = 347.474340000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96573028-0.96567574) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dr = 347.474340000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20833377--0.20823789) × cos(0.96573028) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568816398645684 × 6371000     		do = 347.462338960959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20833377--0.20823789) × cos(0.96567574) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568861255015174 × 6371000     		du = 347.48973954065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96573028)-sin(0.96567574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568816398645684-0.568861255015174)×R²
    abs(-0.20823789--0.20833377)×4.48563694905868e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48563694905868e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48563694905868e-05×40589641000000     		ar = 120739.007434322m²