Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30594 / 20610
↖ ↑ ↗
← N 55.372868°
W 11.942139°		 ← 347.07 m → N 55.372868°
W 11.936646°		 →
↑
347.16 m
↓
↑
347.16 m
↓
N 55.369746°
W 11.942139°		 ← 347.10 m →
120 492 m²		 N 55.369746°
W 11.936646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466835021972656 y=0.314491271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466835021972656 × 216)
    floor (0.466835021972656 × 65536)
    floor (30594.5)     		tx = 30594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314491271972656 × 216)
    floor (0.314491271972656 × 65536)
    floor (20610.5)     		ty = 20610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30594 / 20610 ti = "16/30594/20610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30594/20610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30594 ÷ 216
    30594 ÷ 65536     		x = 0.466827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20610 ÷ 216
    20610 ÷ 65536     		y = 0.314483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.06634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20842964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314483642578125 × 2 - 1) × π
    0.37103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16563365116129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20842964} λ = -0.20842964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16563365116129))-π/2
    2×atan(3.20795496370784)-π/2
    2×1.26861759605587-π/2
    2.53723519211174-1.57079632675     		φ = 0.96643887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20842964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96643887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.372868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30594 KachelY 20610 -0.20842964 0.96643887 -11.942139 55.372868
    Oben rechts KachelX + 1 30595 KachelY 20610 -0.20833377 0.96643887 -11.936646 55.372868
    Unten links KachelX 30594 KachelY + 1 20611 -0.20842964 0.96638438 -11.942139 55.369746
    Unten rechts KachelX + 1 30595 KachelY + 1 20611 -0.20833377 0.96638438 -11.936646 55.369746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96643887-0.96638438) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dl = 347.155789999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96643887-0.96638438) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dr = 347.155789999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20842964--0.20833377) × cos(0.96643887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568233465751194 × 6371000     		do = 347.070051385536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20842964--0.20833377) × cos(0.96638438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56827830295123 × 6371000     		du = 347.097437398959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96643887)-sin(0.96638438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568233465751194-0.56827830295123)×R²
    abs(-0.20833377--0.20842964)×4.48372000362296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48372000362296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48372000362296e-05×40589641000000     		ar = 120492.131510079m²