Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30593 / 20609
↖ ↑ ↗
← N 55.375989°
W 11.947632°		 ← 347.04 m → N 55.375989°
W 11.942139°		 →
↑
347.03 m
↓
↑
347.03 m
↓
N 55.372868°
W 11.947632°		 ← 347.07 m →
120 438 m²		 N 55.372868°
W 11.942139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466819763183594 y=0.314476013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466819763183594 × 216)
    floor (0.466819763183594 × 65536)
    floor (30593.5)     		tx = 30593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314476013183594 × 216)
    floor (0.314476013183594 × 65536)
    floor (20609.5)     		ty = 20609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30593 / 20609 ti = "16/30593/20609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30593/20609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30593 ÷ 216
    30593 ÷ 65536     		x = 0.466812133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20609 ÷ 216
    20609 ÷ 65536     		y = 0.314468383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466812133789062 × 2 - 1) × π
    -0.066375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20852551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314468383789062 × 2 - 1) × π
    0.371063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16572952496053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20852551} λ = -0.20852551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16572952496053))-π/2
    2×atan(3.20826253728189)-π/2
    2×1.2686448343322-π/2
    2.5372896686644-1.57079632675     		φ = 0.96649334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20852551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96649334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.375989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30593 KachelY 20609 -0.20852551 0.96649334 -11.947632 55.375989
    Oben rechts KachelX + 1 30594 KachelY 20609 -0.20842964 0.96649334 -11.942139 55.375989
    Unten links KachelX 30593 KachelY + 1 20610 -0.20852551 0.96643887 -11.947632 55.372868
    Unten rechts KachelX + 1 30594 KachelY + 1 20610 -0.20842964 0.96643887 -11.942139 55.372868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96649334-0.96643887) × R
    5.44700000000287e-05 × 6371000     		dl = 347.028370000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96649334-0.96643887) × R
    5.44700000000287e-05 × 6371000     		dr = 347.028370000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20852551--0.20842964) × cos(0.96649334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568188643321948 × 6371000     		do = 347.042674393931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20852551--0.20842964) × cos(0.96643887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568233465751194 × 6371000     		du = 347.070051385536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96649334)-sin(0.96643887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568188643321948-0.568233465751194)×R²
    abs(-0.20842964--0.20852551)×4.4822429245639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4822429245639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4822429245639e-05×40589641000000     		ar = 120438.403941748m²