Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30592 / 38528
↖ ↑ ↗
← S 30.145127°
W 11.953125°		 ← 528.24 m → S 30.145127°
W 11.947632°		 →
↑
528.22 m
↓
↑
528.22 m
↓
S 30.149877°
W 11.953125°		 ← 528.21 m →
279 019 m²		 S 30.149877°
W 11.947632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466804504394531 y=0.587898254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466804504394531 × 216)
    floor (0.466804504394531 × 65536)
    floor (30592.5)     		tx = 30592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587898254394531 × 216)
    floor (0.587898254394531 × 65536)
    floor (38528.5)     		ty = 38528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30592 / 38528 ti = "16/30592/38528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30592/38528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30592 ÷ 216
    30592 ÷ 65536     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38528 ÷ 216
    38528 ÷ 65536     		y = 0.587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587890625 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552233083623047))-π/2
    2×atan(0.575662870664402)-π/2
    2×0.522332302013094-π/2
    1.04466460402619-1.57079632675     		φ = -0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30592 KachelY 38528 -0.20862139 -0.52613172 -11.953125 -30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 30593 KachelY 38528 -0.20852551 -0.52613172 -11.947632 -30.145127
    Unten links KachelX 30592 KachelY + 1 38529 -0.20862139 -0.52621463 -11.953125 -30.149877
    Unten rechts KachelX + 1 30593 KachelY + 1 38529 -0.20852551 -0.52621463 -11.947632 -30.149877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52613172--0.52621463) × R
    8.29100000000471e-05 × 6371000     		dl = 528.2196100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52613172--0.52621463) × R
    8.29100000000471e-05 × 6371000     		dr = 528.2196100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20852551) × cos(-0.52613172) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 528.237577006737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20852551) × cos(-0.52621463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864714515103376 × 6371000     		du = 528.212141328339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52613172)-sin(-0.52621463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.864714515103376)×R²
    abs(-0.20852551--0.20862139)×4.1639709865593e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1639709865593e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1639709865593e-05×40589641000000     		ar = 279018.72926177m²