Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30592 / 20599
↖ ↑ ↗
← N 55.407189°
W 11.953125°		 ← 346.81 m → N 55.407189°
W 11.947632°		 →
↑
346.77 m
↓
↑
346.77 m
↓
N 55.404070°
W 11.953125°		 ← 346.83 m →
120 268 m²		 N 55.404070°
W 11.947632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466804504394531 y=0.314323425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466804504394531 × 216)
    floor (0.466804504394531 × 65536)
    floor (30592.5)     		tx = 30592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314323425292969 × 216)
    floor (0.314323425292969 × 65536)
    floor (20599.5)     		ty = 20599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30592 / 20599 ti = "16/30592/20599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30592/20599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30592 ÷ 216
    30592 ÷ 65536     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20599 ÷ 216
    20599 ÷ 65536     		y = 0.314315795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314315795898438 × 2 - 1) × π
    0.371368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16668826295293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16668826295293))-π/2
    2×atan(3.21133989542034)-π/2
    2×1.26891709892274-π/2
    2.53783419784547-1.57079632675     		φ = 0.96703787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96703787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.407189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30592 KachelY 20599 -0.20862139 0.96703787 -11.953125 55.407189
    Oben rechts KachelX + 1 30593 KachelY 20599 -0.20852551 0.96703787 -11.947632 55.407189
    Unten links KachelX 30592 KachelY + 1 20600 -0.20862139 0.96698344 -11.953125 55.404070
    Unten rechts KachelX + 1 30593 KachelY + 1 20600 -0.20852551 0.96698344 -11.947632 55.404070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96703787-0.96698344) × R
    5.44299999999387e-05 × 6371000     		dl = 346.773529999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96703787-0.96698344) × R
    5.44299999999387e-05 × 6371000     		dr = 346.773529999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20852551) × cos(0.96703787) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567740466277472 × 6371000     		do = 346.805104081457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20852551) × cos(0.96698344) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567785272626456 × 6371000     		du = 346.832474106047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96703787)-sin(0.96698344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567740466277472-0.567785272626456)×R²
    abs(-0.20852551--0.20862139)×4.48063489838502e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48063489838502e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48063489838502e-05×40589641000000     		ar = 120267.575793776m²