Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30591 / 20597
↖ ↑ ↗
← N 55.413426°
W 11.958618°		 ← 346.71 m → N 55.413426°
W 11.953125°		 →
↑
346.77 m
↓
↑
346.77 m
↓
N 55.410307°
W 11.958618°		 ← 346.74 m →
120 236 m²		 N 55.410307°
W 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466789245605469 y=0.314292907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466789245605469 × 216)
    floor (0.466789245605469 × 65536)
    floor (30591.5)     		tx = 30591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314292907714844 × 216)
    floor (0.314292907714844 × 65536)
    floor (20597.5)     		ty = 20597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30591 / 20597 ti = "16/30591/20597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30591/20597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30591 ÷ 216
    30591 ÷ 65536     		x = 0.466781616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20597 ÷ 216
    20597 ÷ 65536     		y = 0.314285278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466781616210938 × 2 - 1) × π
    -0.066436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20871726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314285278320312 × 2 - 1) × π
    0.371429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16688001055141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20871726} λ = -0.20871726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16688001055141))-π/2
    2×atan(3.21195572117286)-π/2
    2×1.26897152606231-π/2
    2.53794305212461-1.57079632675     		φ = 0.96714673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20871726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.958618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96714673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.413426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30591 KachelY 20597 -0.20871726 0.96714673 -11.958618 55.413426
    Oben rechts KachelX + 1 30592 KachelY 20597 -0.20862139 0.96714673 -11.953125 55.413426
    Unten links KachelX 30591 KachelY + 1 20598 -0.20871726 0.96709230 -11.958618 55.410307
    Unten rechts KachelX + 1 30592 KachelY + 1 20598 -0.20862139 0.96709230 -11.953125 55.410307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96714673-0.96709230) × R
    5.44299999999387e-05 × 6371000     		dl = 346.773529999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96714673-0.96709230) × R
    5.44299999999387e-05 × 6371000     		dr = 346.773529999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20871726--0.20862139) × cos(0.96714673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567650848533631 × 6371000     		do = 346.714195914456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20871726--0.20862139) × cos(0.96709230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567695658246486 × 6371000     		du = 346.741565139046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96714673)-sin(0.96709230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567650848533631-0.567695658246486)×R²
    abs(-0.20862139--0.20871726)×4.48097128551428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48097128551428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48097128551428e-05×40589641000000     		ar = 120236.051108994m²