Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30590 / 16138
↖ ↑ ↗
← N 67.046020°
W 11.964111°		 ← 238.20 m → N 67.046020°
W 11.958618°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
N 67.043878°
W 11.964111°		 ← 238.22 m →
56 745 m²		 N 67.043878°
W 11.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466773986816406 y=0.246253967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466773986816406 × 216)
    floor (0.466773986816406 × 65536)
    floor (30590.5)     		tx = 30590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246253967285156 × 216)
    floor (0.246253967285156 × 65536)
    floor (16138.5)     		ty = 16138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30590 / 16138 ti = "16/30590/16138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30590/16138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30590 ÷ 216
    30590 ÷ 65536     		x = 0.466766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16138 ÷ 216
    16138 ÷ 65536     		y = 0.246246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.06646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20881313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246246337890625 × 2 - 1) × π
    0.50750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59438128136307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20881313} λ = -0.20881313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59438128136307))-π/2
    2×atan(4.92528076619236)-π/2
    2×1.37048506240205-π/2
    2.7409701248041-1.57079632675     		φ = 1.17017380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20881313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17017380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.046020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30590 KachelY 16138 -0.20881313 1.17017380 -11.964111 67.046020
    Oben rechts KachelX + 1 30591 KachelY 16138 -0.20871726 1.17017380 -11.958618 67.046020
    Unten links KachelX 30590 KachelY + 1 16139 -0.20881313 1.17013641 -11.964111 67.043878
    Unten rechts KachelX + 1 30591 KachelY + 1 16139 -0.20871726 1.17013641 -11.958618 67.043878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17017380-1.17013641) × R
    3.7389999999915e-05 × 6371000     		dl = 238.211689999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17017380-1.17013641) × R
    3.7389999999915e-05 × 6371000     		dr = 238.211689999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20881313--0.20871726) × cos(1.17017380) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.389991651962603 × 6371000     		do = 238.202131420918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20881313--0.20871726) × cos(1.17013641) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.390026081089672 × 6371000     		du = 238.223160310664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17017380)-sin(1.17013641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389991651962603-0.390026081089672)×R²
    abs(-0.20871726--0.20881313)×3.44291270694685e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.44291270694685e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.44291270694685e-05×40589641000000     		ar = 56745.0369575584m²