Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3059 / 5090
↖ ↑ ↗
← S 39.977120°
W 45.571289°		 ← 3 744.53 m → S 39.977120°
W 45.527344°		 →
↑
3 743.60 m
↓
↑
3 743.60 m
↓
S 40.010787°
W 45.571289°		 ← 3 742.68 m →
14 014 549 m²		 S 40.010787°
W 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37347412109375 y=0.62139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37347412109375 × 213)
    floor (0.37347412109375 × 8192)
    floor (3059.5)     		tx = 3059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62139892578125 × 213)
    floor (0.62139892578125 × 8192)
    floor (5090.5)     		ty = 5090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3059 / 5090 ti = "13/3059/5090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3059/5090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3059 ÷ 213
    3059 ÷ 8192     		x = 0.3734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5090 ÷ 213
    5090 ÷ 8192     		y = 0.621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79536904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.762388451557373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79536904} λ = -0.79536904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762388451557373))-π/2
    2×atan(0.466550761291126)-π/2
    2×0.436531977814312-π/2
    0.873063955628623-1.57079632675     		φ = -0.69773237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79536904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69773237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.977120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3059 KachelY 5090 -0.79536904 -0.69773237 -45.571289 -39.977120
    Oben rechts KachelX + 1 3060 KachelY 5090 -0.79460205 -0.69773237 -45.527344 -39.977120
    Unten links KachelX 3059 KachelY + 1 5091 -0.79536904 -0.69831997 -45.571289 -40.010787
    Unten rechts KachelX + 1 3060 KachelY + 1 5091 -0.79460205 -0.69831997 -45.527344 -40.010787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69773237--0.69831997) × R
    0.000587600000000021 × 6371000     		dl = 3743.59960000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69773237--0.69831997) × R
    0.000587600000000021 × 6371000     		dr = 3743.59960000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79536904--0.79460205) × cos(-0.69773237) × R
    0.000766990000000023 × 0.766301066922434 × 6371000     		do = 3744.52502163642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79536904--0.79460205) × cos(-0.69831997) × R
    0.000766990000000023 × 0.765923412432855 × 6371000     		du = 3742.67961550716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69773237)-sin(-0.69831997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766301066922434-0.765923412432855)×R²
    abs(-0.79460205--0.79536904)×0.000377654489578827×R²
    0.000766990000000023×0.000377654489578827×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377654489578827×40589641000000     		ar = 14014548.5456024m²