Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30588 / 16124
↖ ↑ ↗
← N 67.075993°
W 11.975098°		 ← 237.91 m → N 67.075993°
W 11.969605°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
N 67.073854°
W 11.975098°		 ← 237.93 m →
56 599 m²		 N 67.073854°
W 11.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466743469238281 y=0.246040344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466743469238281 × 216)
    floor (0.466743469238281 × 65536)
    floor (30588.5)     		tx = 30588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246040344238281 × 216)
    floor (0.246040344238281 × 65536)
    floor (16124.5)     		ty = 16124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30588 / 16124 ti = "16/30588/16124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30588/16124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30588 ÷ 216
    30588 ÷ 65536     		x = 0.46673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16124 ÷ 216
    16124 ÷ 65536     		y = 0.24603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24603271484375 × 2 - 1) × π
    0.5079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59572351455243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20900488} λ = -0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59572351455243))-π/2
    2×atan(4.93189608015747)-π/2
    2×1.37074663058447-π/2
    2.74149326116894-1.57079632675     		φ = 1.17069693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17069693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.075993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30588 KachelY 16124 -0.20900488 1.17069693 -11.975098 67.075993
    Oben rechts KachelX + 1 30589 KachelY 16124 -0.20890901 1.17069693 -11.969605 67.075993
    Unten links KachelX 30588 KachelY + 1 16125 -0.20900488 1.17065959 -11.975098 67.073854
    Unten rechts KachelX + 1 30589 KachelY + 1 16125 -0.20890901 1.17065959 -11.969605 67.073854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17069693-1.17065959) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17069693-1.17065959) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20900488--0.20890901) × cos(1.17069693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389509890895535 × 6371000     		do = 237.907877653022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20900488--0.20890901) × cos(1.17065959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389544281596014 × 6371000     		du = 237.928883072276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17069693)-sin(1.17065959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389509890895535-0.389544281596014)×R²
    abs(-0.20890901--0.20900488)×3.43907004791144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43907004791144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43907004791144e-05×40589641000000     		ar = 56599.1505746267m²