Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30587 / 16859
↖ ↑ ↗
← N 65.451415°
W 11.980591°		 ← 253.79 m → N 65.451415°
W 11.975098°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
N 65.449133°
W 11.980591°		 ← 253.81 m →
64 419 m²		 N 65.449133°
W 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466728210449219 y=0.257255554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466728210449219 × 216)
    floor (0.466728210449219 × 65536)
    floor (30587.5)     		tx = 30587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257255554199219 × 216)
    floor (0.257255554199219 × 65536)
    floor (16859.5)     		ty = 16859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30587 / 16859 ti = "16/30587/16859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30587/16859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30587 ÷ 216
    30587 ÷ 65536     		x = 0.466720581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16859 ÷ 216
    16859 ÷ 65536     		y = 0.257247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466720581054688 × 2 - 1) × π
    -0.066558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20910076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257247924804688 × 2 - 1) × π
    0.485504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52525627211095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20910076} λ = -0.20910076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52525627211095))-π/2
    2×atan(4.59632132735612)-π/2
    2×1.35656951128716-π/2
    2.71313902257432-1.57079632675     		φ = 1.14234270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20910076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.980591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14234270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.451415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30587 KachelY 16859 -0.20910076 1.14234270 -11.980591 65.451415
    Oben rechts KachelX + 1 30588 KachelY 16859 -0.20900488 1.14234270 -11.975098 65.451415
    Unten links KachelX 30587 KachelY + 1 16860 -0.20910076 1.14230286 -11.980591 65.449133
    Unten rechts KachelX + 1 30588 KachelY + 1 16860 -0.20900488 1.14230286 -11.975098 65.449133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14234270-1.14230286) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dl = 253.820639999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14234270-1.14230286) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dr = 253.820639999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20910076--0.20900488) × cos(1.14234270) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		do = 253.787229499936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20910076--0.20900488) × cos(1.14230286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415500942789313 × 6371000     		du = 253.809365844228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14234270)-sin(1.14230286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415464704284511-0.415500942789313)×R²
    abs(-0.20900488--0.20910076)×3.62385048027769e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.62385048027769e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.62385048027769e-05×40589641000000     		ar = 64419.2463541564m²