Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30585 / 17079
↖ ↑ ↗
← N 64.944487°
W 11.991577°		 ← 258.67 m → N 64.944487°
W 11.986084°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
N 64.942160°
W 11.991577°		 ← 258.69 m →
66 927 m²		 N 64.942160°
W 11.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466697692871094 y=0.260612487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466697692871094 × 216)
    floor (0.466697692871094 × 65536)
    floor (30585.5)     		tx = 30585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260612487792969 × 216)
    floor (0.260612487792969 × 65536)
    floor (17079.5)     		ty = 17079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30585 / 17079 ti = "16/30585/17079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30585/17079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30585 ÷ 216
    30585 ÷ 65536     		x = 0.466690063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17079 ÷ 216
    17079 ÷ 65536     		y = 0.260604858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466690063476562 × 2 - 1) × π
    -0.066619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20929250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260604858398438 × 2 - 1) × π
    0.478790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50416403627812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20929250} λ = -0.20929250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50416403627812))-π/2
    2×atan(4.50038989464821)-π/2
    2×1.3521457273896-π/2
    2.70429145477921-1.57079632675     		φ = 1.13349513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20929250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.991577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13349513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.944487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30585 KachelY 17079 -0.20929250 1.13349513 -11.991577 64.944487
    Oben rechts KachelX + 1 30586 KachelY 17079 -0.20919663 1.13349513 -11.986084 64.944487
    Unten links KachelX 30585 KachelY + 1 17080 -0.20929250 1.13345452 -11.991577 64.942160
    Unten rechts KachelX + 1 30586 KachelY + 1 17080 -0.20919663 1.13345452 -11.986084 64.942160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13349513-1.13345452) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dl = 258.726310000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13349513-1.13345452) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dr = 258.726310000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20929250--0.20919663) × cos(1.13349513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		do = 258.66628138119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20929250--0.20919663) × cos(1.13345452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42353295833346 × 6371000     		du = 258.688751141991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13349513)-sin(1.13345452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423496170169215-0.42353295833346)×R²
    abs(-0.20919663--0.20929250)×3.67881642450163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67881642450163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67881642450163e-05×40589641000000     		ar = 66926.6792713828m²