Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30585 / 16857
↖ ↑ ↗
← N 65.455979°
W 11.991577°		 ← 253.72 m → N 65.455979°
W 11.986084°		 →
↑
253.69 m
↓
↑
253.69 m
↓
N 65.453698°
W 11.991577°		 ← 253.74 m →
64 369 m²		 N 65.453698°
W 11.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466697692871094 y=0.257225036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466697692871094 × 216)
    floor (0.466697692871094 × 65536)
    floor (30585.5)     		tx = 30585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257225036621094 × 216)
    floor (0.257225036621094 × 65536)
    floor (16857.5)     		ty = 16857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30585 / 16857 ti = "16/30585/16857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30585/16857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30585 ÷ 216
    30585 ÷ 65536     		x = 0.466690063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16857 ÷ 216
    16857 ÷ 65536     		y = 0.257217407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466690063476562 × 2 - 1) × π
    -0.066619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20929250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257217407226562 × 2 - 1) × π
    0.485565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52544801970943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20929250} λ = -0.20929250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52544801970943))-π/2
    2×atan(4.59720274543469)-π/2
    2×1.35660933999366-π/2
    2.71321867998733-1.57079632675     		φ = 1.14242235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20929250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.991577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14242235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.455979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30585 KachelY 16857 -0.20929250 1.14242235 -11.991577 65.455979
    Oben rechts KachelX + 1 30586 KachelY 16857 -0.20919663 1.14242235 -11.986084 65.455979
    Unten links KachelX 30585 KachelY + 1 16858 -0.20929250 1.14238253 -11.991577 65.453698
    Unten rechts KachelX + 1 30586 KachelY + 1 16858 -0.20919663 1.14238253 -11.986084 65.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14242235-1.14238253) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dl = 253.693220000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14242235-1.14238253) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dr = 253.693220000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20929250--0.20919663) × cos(1.14242235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415392252585926 × 6371000     		do = 253.716507632229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20929250--0.20919663) × cos(1.14238253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41542847421653 × 6371000     		du = 253.738631361211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14242235)-sin(1.14238253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415392252585926-0.41542847421653)×R²
    abs(-0.20919663--0.20929250)×3.6221630604405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6221630604405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6221630604405e-05×40589641000000     		ar = 64368.9641167115m²