Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30584 / 20451
↖ ↑ ↗
← N 55.866065°
W 11.997070°		 ← 342.77 m → N 55.866065°
W 11.991577°		 →
↑
342.76 m
↓
↑
342.76 m
↓
N 55.862982°
W 11.997070°		 ← 342.79 m →
117 491 m²		 N 55.862982°
W 11.991577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466682434082031 y=0.312065124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466682434082031 × 216)
    floor (0.466682434082031 × 65536)
    floor (30584.5)     		tx = 30584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312065124511719 × 216)
    floor (0.312065124511719 × 65536)
    floor (20451.5)     		ty = 20451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30584 / 20451 ti = "16/30584/20451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30584/20451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30584 ÷ 216
    30584 ÷ 65536     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20451 ÷ 216
    20451 ÷ 65536     		y = 0.312057495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312057495117188 × 2 - 1) × π
    0.375885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18087758524046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18087758524046))-π/2
    2×atan(3.25723144721142)-π/2
    2×1.27292154891984-π/2
    2.54584309783968-1.57079632675     		φ = 0.97504677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97504677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.866065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30584 KachelY 20451 -0.20938838 0.97504677 -11.997070 55.866065
    Oben rechts KachelX + 1 30585 KachelY 20451 -0.20929250 0.97504677 -11.991577 55.866065
    Unten links KachelX 30584 KachelY + 1 20452 -0.20938838 0.97499297 -11.997070 55.862982
    Unten rechts KachelX + 1 30585 KachelY + 1 20452 -0.20929250 0.97499297 -11.991577 55.862982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97504677-0.97499297) × R
    5.37999999999927e-05 × 6371000     		dl = 342.759799999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97504677-0.97499297) × R
    5.37999999999927e-05 × 6371000     		dr = 342.759799999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20929250) × cos(0.97504677) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.561129341318287 × 6371000     		do = 342.766688615774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20929250) × cos(0.97499297) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.561173872279749 × 6371000     		du = 342.793890419488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97504677)-sin(0.97499297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561129341318287-0.561173872279749)×R²
    abs(-0.20929250--0.20938838)×4.45309614612865e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.45309614612865e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.45309614612865e-05×40589641000000     		ar = 117491.303507022m²