Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30583 / 20584
↖ ↑ ↗
← N 55.453941°
W 12.002563°		 ← 346.36 m → N 55.453941°
W 11.997070°		 →
↑
346.39 m
↓
↑
346.39 m
↓
N 55.450826°
W 12.002563°		 ← 346.39 m →
119 980 m²		 N 55.450826°
W 11.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466667175292969 y=0.314094543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466667175292969 × 216)
    floor (0.466667175292969 × 65536)
    floor (30583.5)     		tx = 30583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314094543457031 × 216)
    floor (0.314094543457031 × 65536)
    floor (20584.5)     		ty = 20584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30583 / 20584 ti = "16/30583/20584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30583/20584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30583 ÷ 216
    30583 ÷ 65536     		x = 0.466659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20584 ÷ 216
    20584 ÷ 65536     		y = 0.3140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466659545898438 × 2 - 1) × π
    -0.066680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20948425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3140869140625 × 2 - 1) × π
    0.371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16812636994153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20948425} λ = -0.20948425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16812636994153))-π/2
    2×atan(3.21596146812822)-π/2
    2×1.26932509309117-π/2
    2.53865018618233-1.57079632675     		φ = 0.96785386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20948425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.002563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96785386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.453941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30583 KachelY 20584 -0.20948425 0.96785386 -12.002563 55.453941
    Oben rechts KachelX + 1 30584 KachelY 20584 -0.20938838 0.96785386 -11.997070 55.453941
    Unten links KachelX 30583 KachelY + 1 20585 -0.20948425 0.96779949 -12.002563 55.450826
    Unten rechts KachelX + 1 30584 KachelY + 1 20585 -0.20938838 0.96779949 -11.997070 55.450826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96785386-0.96779949) × R
    5.43699999999703e-05 × 6371000     		dl = 346.391269999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96785386-0.96779949) × R
    5.43699999999703e-05 × 6371000     		dr = 346.391269999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20948425--0.20938838) × cos(0.96785386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567068548165355 × 6371000     		do = 346.358533971047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20948425--0.20938838) × cos(0.96779949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567113330297845 × 6371000     		du = 346.385886349887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96785386)-sin(0.96779949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567068548165355-0.567113330297845)×R²
    abs(-0.20938838--0.20948425)×4.47821324895958e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47821324895958e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47821324895958e-05×40589641000000     		ar = 119980.309799888m²