Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30582 / 17158
↖ ↑ ↗
← N 64.760075°
W 12.008057°		 ← 260.47 m → N 64.760075°
W 12.002563°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 64.757733°
W 12.008057°		 ← 260.50 m →
67 842 m²		 N 64.757733°
W 12.002563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466651916503906 y=0.261817932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466651916503906 × 216)
    floor (0.466651916503906 × 65536)
    floor (30582.5)     		tx = 30582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261817932128906 × 216)
    floor (0.261817932128906 × 65536)
    floor (17158.5)     		ty = 17158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30582 / 17158 ti = "16/30582/17158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30582/17158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30582 ÷ 216
    30582 ÷ 65536     		x = 0.466644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17158 ÷ 216
    17158 ÷ 65536     		y = 0.261810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.06671142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20958013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261810302734375 × 2 - 1) × π
    0.47637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49659000613815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20958013} λ = -0.20958013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49659000613815))-π/2
    2×atan(4.46643256519557)-π/2
    2×1.35053642914456-π/2
    2.70107285828912-1.57079632675     		φ = 1.13027653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20958013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.008057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13027653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.760075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30582 KachelY 17158 -0.20958013 1.13027653 -12.008057 64.760075
    Oben rechts KachelX + 1 30583 KachelY 17158 -0.20948425 1.13027653 -12.002563 64.760075
    Unten links KachelX 30582 KachelY + 1 17159 -0.20958013 1.13023565 -12.008057 64.757733
    Unten rechts KachelX + 1 30583 KachelY + 1 17159 -0.20948425 1.13023565 -12.002563 64.757733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13027653-1.13023565) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13027653-1.13023565) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20958013--0.20948425) × cos(1.13027653) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426409694517525 × 6371000     		do = 260.472992982358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20958013--0.20948425) × cos(1.13023565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426446671353296 × 6371000     		du = 260.495580337215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13027653)-sin(1.13023565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426409694517525-0.426446671353296)×R²
    abs(-0.20948425--0.20958013)×3.69768357709743e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69768357709743e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69768357709743e-05×40589641000000     		ar = 67842.2155650954m²