Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30581 / 17159
↖ ↑ ↗
← N 64.757733°
W 12.013550°		 ← 260.47 m → N 64.757733°
W 12.008057°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 64.755390°
W 12.013550°		 ← 260.49 m →
67 858 m²		 N 64.755390°
W 12.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466636657714844 y=0.261833190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466636657714844 × 216)
    floor (0.466636657714844 × 65536)
    floor (30581.5)     		tx = 30581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261833190917969 × 216)
    floor (0.261833190917969 × 65536)
    floor (17159.5)     		ty = 17159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30581 / 17159 ti = "16/30581/17159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30581/17159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30581 ÷ 216
    30581 ÷ 65536     		x = 0.466629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17159 ÷ 216
    17159 ÷ 65536     		y = 0.261825561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466629028320312 × 2 - 1) × π
    -0.066741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20967600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261825561523438 × 2 - 1) × π
    0.476348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49649413233891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20967600} λ = -0.20967600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49649413233891))-π/2
    2×atan(4.46600437186309)-π/2
    2×1.35051598749956-π/2
    2.70103197499912-1.57079632675     		φ = 1.13023565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20967600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.013550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13023565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.757733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30581 KachelY 17159 -0.20967600 1.13023565 -12.013550 64.757733
    Oben rechts KachelX + 1 30582 KachelY 17159 -0.20958013 1.13023565 -12.008057 64.757733
    Unten links KachelX 30581 KachelY + 1 17160 -0.20967600 1.13019476 -12.013550 64.755390
    Unten rechts KachelX + 1 30582 KachelY + 1 17160 -0.20958013 1.13019476 -12.008057 64.755390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13023565-1.13019476) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13023565-1.13019476) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20967600--0.20958013) × cos(1.13023565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426446671353296 × 6371000     		do = 260.468411419797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20967600--0.20958013) × cos(1.13019476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426483656521353 × 6371000     		du = 260.491001508118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13023565)-sin(1.13019476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426446671353296-0.426483656521353)×R²
    abs(-0.20958013--0.20967600)×3.69851680568356e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69851680568356e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69851680568356e-05×40589641000000     		ar = 67857.6178317414m²